Komplementärraum

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion!

Ein Komplement oder ein komplementärer Unterraum ist im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ein möglichst großer Unterraum, der einen vorgegebenen Unterraum nur im Nullpunkt schneidet. Der gesamte Vektorraum wird dadurch gewissermaßen in zwei unabhängige Teile zerlegt.

Komplement eines Untervektorraums

Definition

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Unterraum von V. Dann heißt ein Unterraum W komplementär oder ein Komplement zu U, wenn die Bedingungen

• $U\cap W=\{0\}$

und

• U + W = V

erfüllt sind. Dabei steht U + W kurz für

$\{u+w\mid u\in U,w\in W\}.$

Bemerkungen

• Man sagt dann auch: V ist die innere direkte Summe von U und W und schreibt $V=U\oplus W$. Da V dann auch kanonisch isomorph zur äußeren direkten Summe von U und W ist, lässt man die Attribute „innere“ oder „äußere“ meist weg.
• Zu einem Untervektorraum U eines Vektorraumes V existiert stets ein komplementärer Untervektorraum. Das folgt für endlichdimensionale Vektorräume aus dem Basisergänzungssatz und für beliebige Vektorräume mit Hilfe des Lemmas von Zorn. Komplemente sind aber im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
• Sei V ein (endlichdimensionaler oder unendlichdimensionaler) vollständiger, normierter Vektorraum, also ein Banachraum und sei U ein abgeschlossener Unterraum zu dem ein abgeschlossener Komplementärraum W existiert, so dass die Räume V und $U \oplus W$ algebraisch isomorph sind, dann ist dieser Isomorphismus auch ein topologischer Isomorphismus. Das heißt die Abbildung und ihre Umkehrabbildung sind stetig.

Eigenschaften

• W ist genau dann ein Komplement von U in V, wenn sich jeder Vektor $v\in V$ eindeutig als

v = u + w

mit $u\in U$ und $w\in W$ schreiben lässt.

• Ist die Dimension des Vektorraums V endlich, so gilt für die Dimensionen der entsprechenden Untervektorräume

dim V = dim U + dim W.

• Ist W ein Komplement zu U, so ist auch U ein Komplement zu W.
• Die Einschränkung der kanonischen Projektion $V\to V/U$ auf W ist ein Isomorphismus, siehe Faktorraum.

Orthogonales Komplement

Definition

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K, auf dem eine symmetrische oder alternierende Bilinearform oder eine hermitesche Sesquilinearform gegeben ist. Für einen Unterraum $U\subseteq V$ heißt

$U^\perp:=\{v\in V\mid\forall u \in U: \langle u,v\rangle=0\}$

das orthogonale Komplement oder der Orthogonalraum von U in V. Man beachte, dass es im Allgemeinen kein Komplement von U im oben definierten Sinne ist. Der Dualitätssatz besagt jedoch, dass, falls V endlichdimensional und s sowohl auf V als auch auf dem Unterraum U nicht ausgeartet ist, $V = U \oplus U^\bot$ gilt.

Die letzte Bedingung ist beispielsweise für positiv definite Skalarprodukte auf reellen oder komplexen Vektorräumen erfüllt.

Orthogonales Komplement in Hilberträumen

Ist V ein Hilbertraum, so ist das orthogonale Komplement eines Unterraumes U ein Komplement seines Abschlusses $\bar U$, d.h.

$V=\bar U\oplus U^\perp.$

Das orthogonale Komplement ist stets abgeschlossen, und es gilt

$(U^\perp)^\perp=\bar U.$

Siehe auch

• Komplementärbasis