Hierarchie mathematischer Strukturen

Dieser Artikel gibt einen Überblick über die Hierarchie mathematischer Strukturen.

Unter einer mathematischen Struktur wird hier eine Menge verstanden, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist. Algebraische Strukturen sind mit einer oder mehreren Verknüpfungen ausgestattet. Topologische Räume erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung bestimmter Teilmengen als offen. Viele wichtige Mengen, zum Beispiel die Zahlenbereiche, besitzen sowohl algebraische als auch topologische Struktur.

Algebraische Strukturen

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen und ähnliche

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen ein oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen. Die Taxonomie, also die Klassifizierung dieser Strukturen richtet sich danach, welche der folgenden Gruppenaxiome in der Menge M bezüglich der Verknüpfung $\circ$ gelten:

(E) Existenz und Eindeutigkeit (auch Abgeschlossenheit): $\forall a, b \in M: a \circ b \in M.$

(A) Assoziativgesetz: $\forall a, b, c \in M: (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c).$

(N) Existenz eines neutralen Elements: $\exists e \in M: \forall a \in M: a \circ e = e \circ a = a.$

(I) Existenz eines inversen Elements: $\forall a \in M: \exists a^{-1} \in M: a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e.$

(K) Kommutativgesetz: $\forall a, b \in M: a \circ b = b \circ a.$

(Ip) Idempotenzgesetz: $\forall a \in M: a \circ a = a.$

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der Gruppe:

• Gruppoid (auch Magma): Axiom E: Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung.

• Halbgruppe: Axiome EA: Ein Gruppoid mit Assoziativgesetz. Beispiel: $(\N\setminus\lbrace 0\rbrace,+)$.

• Halbverband: Axiome EAKIp: Eine Halbgruppe mit Kommutativgesetz und Idempotenzgesetz. Beispiel: $(\N,\text{max}).$

• Monoid: Axiome EAN: Eine Halbgruppe mit einem neutralen Element e. Beispiel: $(\N,+)$ mit e = 0.

• Quasigruppe: Axiome EI: Ein Gruppoid, in dem es zu jedem Element ein Inverses gibt.

• Loop: Axiome ENI: eine Quasigruppe mit neutralem Element.

• Gruppe: Axiome EANI: Gleichzeitig ein Monoid und eine Quasigruppe. Gruppen wurden Anfang des 19. Jahrhunderts zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental für den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele für Zahlbereiche, die eine Gruppe bilden: $(\Z,+)$, $(\Q\setminus\lbrace 0\rbrace,\cdot)$. Beispiele für Transformationsgruppen, die Symmetrien beschreiben: die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien, die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen, die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien.

• Abelsche Gruppe: Axiome EANIK: Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Ringe, Körper und ähnliche

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie $\Z$, $\Q$, $\R$) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die Verträglichkeit der additiven und der multiplikativen Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt:

(I^*) Existenz des inversen Elements bezüglich der multiplikativen Verknüpfung, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung. Formal: $\forall a \in M \setminus\lbrace 0\rbrace : \exists a^{-1} \in M: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$.

(Dl) Links-Distributivgesetz: $\forall a, b, c \in M : a \cdot(b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

(Dr) Rechts-Distributivgesetz: $\forall a, b, c \in M : (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.

(D) Distributivgesetz: es gelten Dl und Dr.

(T) Nullteilerfreiheit: Wenn 0 das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt aus a·b = 0 für alle a, b aus M , dass a = 0 oder b = 0.

(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, 0 und 1, sind nicht gleich.

Die jeweils gültigen Axiome sind im folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.

• Halbring: Axiome (EA|EA|D) zwei Halbgruppen

• Dioid: Axiome (EAN|EAN|D) zwei Monoide

• Fastring: Axiome (EANI|EA|Dr): Eine additive Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe und das Rechts-Distributivgesetz.

• (Links-)Quasikörper: Axiome (EANIK|EAN|Dl): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Loop.

• Ring: Axiome (EANIK|EA|D): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.

• Kommutativer Ring: Axiome (EANIK|EAK|D): Ring mit kommutativer Multiplikation.

• Ring mit 1 oder unitärer Ring: Axiome (EANIK|EAN|D): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

• Nullteilerfreier Ring: Axiome (EANIK|EA|DT): Ring, in dem aus a·b = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0.

• Integritätsbereich: Axiome (EANIK|EANK|DTU): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1 ≠ 0.

• Halbkörper: Axiome (EA|EANI^*|D) Halbring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge (ohne die 0 falls diese existiert).

• Alternativkörper: Axiome (EANIK|ENI^*|DTU): Unitär, nullteilerfrei, 1 ≠ 0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0. Anstelle des Assoziativgesetzes tritt die Alternativität der Multiplikation.

• Fastkörper: Axiome (EANI(k)|EANI^*|DrTU) Fastring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge ohne die 0. Die Addition jedes Fastkörpers ist kommutativ.

• Schiefkörper: Axiome (EANIK|EANI^*|DTU): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1 ≠ 0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0.

• Körper: Axiome (EANIK|EANI^*K|DTU): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0. - Jeder Körper ist auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man in dem Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. - Beispiele: die Zahlbereiche $\Q$, $\R$ und $\C$.

Wichtige Teilmengen sind:

• Ideale, s. Ideal (Mathematik).

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Verbände, Mengenalgebren und ähnliche

Ein Verband ist eine algebraische Struktur, dessen zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(Abs) Absorptionsgesetze: a $\cap$ (a $\cup$ b) = a, und a $\cup$ (a $\cap$ b) = a.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen:

• Verband: Axiome (EAK (bezüglich $\cap$)|EAK (bezüglich $\cup$)|Abs).
• Distributiver Verband: Axiome (EAK (bezüglich $\cap$)|EAK (bezüglich $\cup$)|Abs,D).

In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolesche Algebra ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, a $\cup$ 0 = a und a $\cap$ 1 = a, und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat,

(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a, für das gilt a $\cup$ ¬a = 1 und a $\cap$ ¬a = 0.

Beachte, dass das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

• Boolesche Algebra: Axiome (EAKN (bezüglich $\cap$)|EAKN (bezüglich $\cup$)|Abs,D,Kompl).
• Mengenalgebra: eine Boolesche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge X, mit den Mengenoperatoren $\cup$ und $\cap$ als Verknüpfungen, mit dem Nullelement ø und dem Einselement X.
• σ-Algebra: eine bezüglich abzählbar-unendlich vielen Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra.
• Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren.
• Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zum Maßraum: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

• Zweiwertige Boolesche Algebra: hat nur die Elemente 0 und 1.

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume und ähnliche

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) K, dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *:K×V→V oder als Rechtsmultiplikation *:V×K→V geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für a, b aus K und v aus V: (a ^. b) * v = a * (b * v).

(DL) Distributivgesetze: für a, b aus K und v, w aus V: a * (v + w) = a * v + a * w und (a + b) * v = a * v + b * v.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (V | K | Verträglichkeitsaxiome):

• Linksmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AL,DL).
• Rechtsmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
• Modul: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
• Vektorraum: (Abelsche Gruppe | Körper | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen

• Lie-Algebra: Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher antisymmetrischer bilinearen Verknüpfung, []: V×V → V.

• assoziative Algebra: Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung, V×V → V.

Die im folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

• Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) - außer, dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel: der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

• Innenproduktraum: Vektorraum mit einem Skalarprodukt (einer positiv definiten Bilinearform nach $\R$ beziehungsweise Sesquilinearform nach $\C$), <>: V×V → K. Der Euklidische Raum $\R$ⁿ ist ein spezieller Innenproduktraum. Mit der Norm $\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}$; ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische Struktur.

• unitärer Raum: ein Innenproduktraum über $\C$, dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist, also unter Vertauschung der Argumente die Symmetrie $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ aufweist.

• normierter Raum: Vektorraum mit einer Norm ||·||: V → K. Die Norm kann, muss aber nicht durch ein Skalarprodukt gegeben sein. Jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische Struktur.

• lokalkonvexer Raum: Vektorraum mit einem System $\mathcal{P}$ von Halbnormen. Jeder normierte Raum ist ein lokalkonvexer Raum mit $\mathcal{P}=\{\|\cdot\|\}$. Man erhält ebenfalls eine topologische Struktur: ein Netz konvergiert genau dann in einem solchen Raum, wenn Konvergenz bezüglich jeder Halbnorm vorliegt.

Vektorraum mit	allgemein	+ Vollständigkeit
Metrik	metrischer Raum	vollständiger Raum
Norm	normierter Raum	Banachraum
Skalarprodukt	Prähilbertraum (Innenproduktraum)	Hilbertraum

Nach unten und nach rechts nimmt die Spezialisierung der Vektorräume zu. Die in der Tabelle unten stehenden Vektorräume weisen die Eigenschaften der darüberstehenden auf, da ein Skalarprodukt eine Norm induziert $\left\| v \right\|=\sqrt{\left\langle v,v \right\rangle }$ und eine Norm einen Abstand $d(v,w)=\left\| v-w \right\|$.

Ordnungsstruktur

Siehe dazu den Übersichtsartikel Ordnungsrelation.

• Quasiordnung: reflexiv und transitiv. Beispiel: Für a, b aus $\C$, a R b falls |a| ≤ |b| (s. Absolutbetrag).

• Teilordnung (partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich“ auf dem Vektorraum $\R$ⁿ.

• strenge Halbordnung: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum $\R$ⁿ.

• totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: „Kleinergleich“ auf $\Z$.

• strenge Totalordnung: total, irreflexiv und transitiv. Beispiel: „Kleiner“ auf $\Z$.

• fundierte Ordnung: eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation „Gleich oder Element von“ in einer Menge von Mengen.

• Wohlordnung: totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: „Kleiner“ auf $\N$.

Topologische Struktur

Die verschiedenen Arten topologischer Räume

• Metrische Räume werden durch ihre Metrik mit einer globalen geometrischen Struktur ausgestattet, die in Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck kommt.

Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen, von dieser globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen lokalen Strukturen eines Raums zu klassifizieren.

Siehe dazu einstweilen die Artikel Topologie (Mathematik), topologischer Raum, Topologie-Glossar, Trennungsaxiom.

Geometrische Struktur

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Geometrie, Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

• Geordnete Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten zwei der fünf Euklidischen Postulate (genauer: die Hilbertschen Verknüpfungs- und Anordnungsaxiome) gelten.
• Projektive Geometrie
• Affine Geometrie
• Absolute Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten vier der fünf Euklidischen Postulate gelten (genauer: die Hilbertschen Axiome mit Ausnahme des Parallelenaxioms).
• Euklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat gilt. Oder auch: Geometrie, in der alle Hilbertschen Axiome gelten.
• Nichteuklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt. Oder auch: Geometrie, in der die Hilbertschen Axiome der Gruppen I, II, II und V sowie die Negation des Parallelenaxioms gelten.

Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrische Eigenschaften invariant bleiben (Felix Klein, Erlanger Programm):

• Projektive Geometrie, Invarianten: Punkt, Gerade.
• Affine Geometrie, zusätzliche Invarianten: Parallelität, Teilverhältnis, Flächeninhaltsverhältnis.
• Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis, Winkel.
• Kongruenzgeometrie, zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

Zahlenbereiche

Zahlenbereiche sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division stets möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen (u. a.) das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

• Die Menge der natürlichen Zahlen $\N$ dient dem Abzählen und steht ganz am Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Wir verstehen im folgenden die 0 als in $\N$ enthalten; die entgegengesetzte Konvention ist aber auch üblich. ($\N$,+) und ($\N$,·) sind Monoide mit den neutralen Elementen 0 bzw. 1. Addition und Multiplikation sind, wie auch bei allen anderen Zahlbereichen, distributiv.

• Die Menge der ganzen Zahlen $\Z$ entsteht aus $\N$, indem man negative Zahlen als Inverse bezüglich der Addition konstruiert. ($\Z$,+) ist eine abelsche Gruppe, ($\Z$,·) ist ein Monoid, $\Z$' ist ein Ring.

• Die Menge der nichtnegativen Brüche $\Q$⁺ entsteht aus $\N$, indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. ($\Q$⁺\{0},·) ist daher eine Gruppe; ($\Q$⁺,+) ist ein Monoid.

• Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen $\Q$ entsteht aus $\Q$⁺ durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Addition oder aus $\Z$ durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Multiplikation. ($\Q$,+) und ($\Q$\{0},·) sind abelsche Gruppen. Addition und Multiplikation sind distributiv; $\Q$ ist ein Körper.

• Die Menge der reellen Zahlen $\R$ entsteht aus $\Q$ durch topologische Vervollständigung: eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen. $\R$ ist ein Körper.

• Die Menge der komplexen Zahlen $\C$ besteht aus Paaren reeller Zahlen (a,b), die in der Schreibweise a+bi mit i²=−1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In $\C$ ist jede algebraische Gleichung auflösbar. $\C$ ist ein Körper.

• Quaternionen, Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlenbereiche sind nicht kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

• Der Restklassenring $\Z$_m, kann als Einschränkung der natürlichen Zahlen auf die Menge {0,1,...,m−1} aufgefasst werden. Alle Rechenoperationen werden modulo m ausgeführt. $\Z$_m ist ein Ring; wenn m eine Primzahl ist, sogar ein Körper. In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze Zahlen als Restklassenringe z. B. mit m=2¹⁶ oder 2³² dargestellt.