Unterraumtopologie

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie versteht man unter der Teilraumtopologie (auch induzierten Topologie, relative Topologie, Spurtopologie oder Unterraumtopologie) die natürliche Struktur, die eine Teilmenge eines topologischen Raumes "erbt". Die Teilraumtopologie ist eine spezielle Initialtopologie.

Formale Definition

Es sei X die Grundmenge eines topologischen Raums $\left(X,\mathcal{O}\right)$ und $Y\subseteq X$ eine Teilmenge. Dann ist die Teilraumtopologie auf Y die Topologie

${\mathcal{O}}_Y = \{O\cap Y\mid O\in \mathcal{O}\}.$

Die offenen Teilmengen von Y sind also genau die Schnitte der offenen Teilmengen von X mit Y.

Eigenschaften

• Die Teilraumtopologie auf einer Teilmenge $Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes X ist die schwächste Topologie, für die die Inklusionsabbildung

$Y\to X,\quad y\mapsto y$

stetig ist.

• Ist Y eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes X so ist eine Teilmenge $U\subseteq Y$ genau dann offen in der Teilraumtopologie von Y, wenn U als Teilmenge von X offen ist.
• Ist Y eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raumes X, so ist eine Teilmenge $Z\subseteq Y$ genau dann abgeschlossen in der Teilraumtopologie von Y, wenn Z als Teilmenge von X abgeschlossen ist.
• Eine stetige Abbildung topologischer Räume ist genau dann ein Monomorphismus im Sinne der Kategorientheorie, wenn sie als Abbildung auf das mit der Teilraumtopologie versehene mengentheoretische Bild ein Homöomorphismus ist. Insbesondere sind Monomorphismen injektiv.

Beispiele

• Man stelle sich ein Blatt Papier ohne Rand als zweidimensionales Objekt vor. Im $\R^3$ ist dies keine offene Menge. Betrachtet man aber die Topologie bezüglich der Ebene, in der sich das Blatt befindet, so liegt eine offene Menge vor.
• Die Teilraumtopologie auf $\mathbb Z\subset\mathbb R$ ist die diskrete Topologie, d.h. alle Teilmengen von $\mathbb Z$ sind offen als Teilmengen des topologischen Raumes $\mathbb Z$. Beispielsweise ist die Menge {0} eine offene Teilmenge von $\mathbb Z$, weil sie Schnitt der offenen Teilmenge $\left(-\tfrac1 2, \tfrac1 2\right)$ von $\mathbb R$ mit $\mathbb Z$ ist.