Verebnung

Unter Verebnung wird eine vereinfachte Berechnungsmethode für Kugeldreiecke verstanden, die sie auf ebene Dreiecke zurückführt. Die Methode wird in der Geodäsie und teilweise in der Sphärischen Trigonometrie verwendet, wenn zwei bis drei Dreieckswinkel in der Natur gemessen oder anderweitig bekannt sind. Sie ergibt bis zu Dreiecksseiten von etwa 100 km eine Genauigkeit im Millimeter-Bereich.

Der Rechenvorgang ist folgendermaßen:

1. Genäherte Berechnung der Dreiecksfläche $\tilde A$ (hierfür genügen vorläufige Werte)
2. Berechnung des sphärischen Exzesses $\epsilon$, um den die Winkelsumme eines sphärischen Dreiecks den Wert von 180° übersteigt ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \epsilon$) mittels der genährten Dreiecksfläche $\tilde A$:

$\tilde A = \frac{\epsilon}{180^\circ} \cdot R^2 \pi$, worin R der Kugelradius ist.

1. Verminderung aller gemessenen (sphärischen) Dreiecks-Winkel um ein Drittel von $\epsilon$
2. Berechnung der Dreiecksseiten mittels ebener Trigonometrie

Bei einem sehr kleinen Kugeldreieck (klein im Vergleich zur gesamten Erdoberfläche) übersteigt die Winkelsumme 180° nur wenig. Ein gleichseitiges Dreieck mit 21 km langen Seiten hat einen sphärischen Exzess von nur 1" (etwa das Zehnfache der modernen Messgenauigkeit). Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe Kugeloberfläche (drei Winkel zu fast 180°), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 540° und der Exzess daher beinahe 360°.

Der direkte Zusammenhang zwischen Exzess und Dreiecksfläche wird am Achtel einer Kugel deutlich, wo $\epsilon = 90^\circ$ beträgt. Ein solches Dreieck (mit drei Winkeln zu je 90°) ist zum Beispiel eines, das ein Viertel des Äquators mit dem Nordpol verbindet.

Siehe auch: Krümmung, Kugelzweieck, Einheitskugel, sphärische Astronomie, Vermessungsnetz