Einheitskugel

Unter der Einheitskugel versteht man in der Mathematik die Kugel mit Radius eins um den Nullpunkt eines Vektorraums. Dabei wird ein verallgemeinerter Begriff des Abstands zugrunde gelegt, so dass je nach Zusammenhang die Einheitskugel keinerlei Ähnlichkeit mehr mit einer herkömmlichen Kugel haben muss. Diese Einheitssphäre ist der Rand der Einheitskugel, im zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der euklidischen Norm ist dies der Einheitskreis.

Allgemeine Definition

Es sei $(X,\|{\cdot}\|)$ ein normierter Vektorraum. Dann nennt man die Menge der Punkte, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als eins ist, die offene Einheitskugel in X:

$B_X:=\{x\in X : \|x\|<1\}.$

Entsprechend bezeichnet

$\overline{B_X}:=\{x\in X : \|x\|\leq1\}$

die abgeschlossene Einheitskugel in X sowie

$\partial B_X:=\{x\in X : \|x\|=1\}$

die Einheitssphäre in X.

Mittels Translation und Skalierung lassen sich in einem Raum beliebige Kugeln in die Einheitskugel überführen. Deshalb reicht es oft aus, bestimmte Aussagen nur für die Einheitskugel nachzuweisen, um die Gültigkeit für beliebige Kugeln zu folgern.

Einheitskugel in endlichdimensionalen Räumen

Einheitssphären im $\R^2$

Im Falle des euklidischen Raumes $\R^n$ definiert man die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der euklidischen Norm $\|x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2}$ mittels $\overline{B_{\R^n}}:=\{x\in \R^n : \|x\|_2\leq 1\}.$

Ebenso können bezüglich der Betragssummennorm (Einsnorm) $\|x\|_1= |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|$ bzw. der Maximumsnorm $\|x\|_\infty= \max\{ |x_1|,|x_2|,\dots,|x_n| \}$ weitere Einheitskugeln in $\R^n$ definiert werden. Die geometrische Gestalt der Einheitskugel hängt von der gewählten Norm ab und ist nur mit der euklidischen Norm tatsächlich kugelförmig.

Volumen

Das Volumen einer n-dimensionalen, euklidischen Einheitskugel ist

$V_n= \frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(\frac{n}{2})} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} +1)}.$

Hierbei ist Γ die Gammafunktion, die stetige Erweiterung der Fakultät auf die reellen Zahlen. Für gerades n vereinfacht sich die Formel zu $V_n=\tfrac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}$.

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel in Abhängigkeit von der Raumdimension n bis n = 5 zunächst zunimmt, um dann wieder abzufallen – und sogar für $n \to \infty$ gegen 0 zu gehen:

Dimension	Volumen der Einheitskugel	Näherung
1	2	2,00
2	π	3,14
3	$\frac{4}{3}\pi$	4,19
4	$\frac{1}{2}\pi^2$	4,93
5	$\frac{8}{15}\pi^2$	5,26
6	$\frac{1}{6}\pi^3$	5,17
7	$\frac{16}{105}\pi^3$	4,72
12	$\frac{1}{720}\pi^6$	1,34
20	$\frac{1}{3\,628\,800}\pi^{10}$	0,0258
25	$\frac{8\,192}{7\,905\,853\,580\,625}\pi^{12}$	0,00096

Bemerkungen

• Die Einheitssphäre bildet den Rand der Einheitskugel. Entsprechend ist im zweidimensionalen die Einheitskugel nicht der Kreis, sondern die Kreisscheibe.

• Allgemeiner kann eine Einheitskugel in jedem metrischen Raum definiert werden. Zu beachten ist, dass dort nicht von vornherein ein Punkt als Nullpunkt ausgezeichnet sein muss und man deswegen nur bedingt von der Einheitskugel eines metrischen Raumes sprechen kann. Weiterhin sind gerade bei Metriken, die nicht norminduziert sind, die Einheitskugeln noch weiter von der Anschauung entfernt. Speziell gilt in einem Vektorraum X mit der diskreten Metrik: B_X = {0}, $\overline{B_X}= X$ und $\partial B_X= X \backslash \{0\}$.

• Bei der Betrachtung von Umgebungen wird die Einheitskugel auch als 1-Kugel oder 1-Ball bezeichnet.

Eigenschaften

• Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X}$ ist konvex. (Die Konvexität folgt aus der Dreiecksungleichung.)

• Sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung 0: $x\in \overline{B_X}\implies -x\in\overline{B_X}$.

• Umgekehrt wird in einem endlichdimensionalen Vektorraum durch jede abgeschlossene konvexe Menge B, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegt und den Ursprung im Inneren enthält, eine Norm definiert, die diese Menge als Einheitskugel hat: $\lVert x \rVert_B = \min\{\,t>0: \tfrac xt\in B \,\}$, für $x\ne0$.

• Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X}$ ist genau dann kompakt, wenn X endlichdimensional ist.

• Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_X}$ ist genau dann schwach kompakt, wenn X reflexiv ist.

• Die abgeschlossene Einheitskugel $\overline{B_{X^\prime}}$ im topologischen Dualraum $X^\prime$ von X ist immer schwach-*-kompakt (Satz von Banach-Alaoglu).

Quellen

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.