Wall-Sun-Sun-Primzahl

Wall-Sun-Sun-Primzahl

Eine Wall-Sun-Sun-Primzahl, benannt nach D. D. Wall, Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun, ist eine Primzahl p > 5, für die die durch p teilbare Zahl

F\bigl(p - \bigl(\tfrac{p}{5}\bigr)\bigr)

durch p2 teilbar ist. Dabei ist F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und \bigl(\tfrac{a}{b}\bigr) das Legendre-Symbol von a und b, also \bigl(\tfrac{p}{5}\bigr) ist 1, wenn 5 ein Teiler von p2−1 ist, und −1 sonst. D. D. Wall stellte 1960 die Frage, ob solche Primzahlen existieren.[1] Die Frage ist bis heute offen, insbesondere sind keine Wall-Sun-Sun-Primzahlen bekannt. Wenn eine Wall-Sun-Sun-Primzahl existiert, muss sie größer als 9,7 × 1014 sein.[2] Es gibt die Vermutung, dass unendlich viele existieren.[3]

Zhi-Hong Sun und Zhi-Wei Sun zeigten 1992, dass eine ungerade Primzahl p eine Wall-Sun-Sun-Primzahl ist, wenn ein bestimmtes Gegenbeispiel zur Fermatschen Vermutung existiert, nämlich nicht durch p teilbare ganze Zahlen x, y, z mit xp + yp = zp.[4] Diese Eigenschaft hatte auch Wieferich 1909 für Wieferich-Primzahlen nachgewiesen. Mit dem Beweis der Vermutung 1995 ist allerdings geklärt, dass kein Gegenbeispiel existiert, also die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. ↑ D. D. Wall: Fibonacci series modulo m, American Mathematical Monthly 67, 1960, S. 525–532 (englisch)
  2. ↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: Near Wieferich primes up to 6.7 × 1015 (PDF-Datei, 308 kB), 8. Oktober 2010 (englisch)
  3. ↑ Jiří Klaška: Short remark on Fibonacci-Wieferich primes, Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis 15, 2007, S. 21–25 (englisch)
  4. ↑ Zhi-Hong Sun, Zhi-Wei Sun: Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem (PDF-Datei, 186 kB), Acta Arithmetica 60, 1992, S. 371–388

Weblinks


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