Wilson-Primzahl

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen, für die eine stärkere Form des Satzes von Wilson gilt.

Der Satz von Wilson besagt, dass für jede Primzahl p gilt:

$(p-1)!\equiv-1\pmod p$

zur Notation siehe Fakultät (Mathematik) und Kongruenz (Zahlentheorie).

Eine Primzahl p heißt Wilson-Primzahl, wenn sogar

$(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}$

gilt. Eine äquivalente Formulierung ist: Eine Primzahl p heißt Wilson-Primzahl, wenn

$\frac{(p-1)! + 1}{p} \equiv 0 \pmod p$

gilt. Die linke Seite, die nach dem Satz von Wilson eine ganze Zahl ist, wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient W(p) bezeichnet (Folge A007619 in OEIS).

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 (Goldberg 1953)^[1] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollte eine weitere Wilson-Primzahl existieren, so ist sie größer als 5 × 10⁸.^[2][3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa log(log(y) / log(x)) zwischen x und y.^[4][3]

Literatur

• N. G. W. H. Beeger: Quelques remarques sur les congruences r^p−1 ≡ 1 (mod p²) et (p−1)! ≡ −1 (mod p²), The Messenger of Mathematics 43, 1913–1914, S. 72–84 (französisch)
• Emma Lehmer: On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson (PDF-Datei, 747 kB), Annals of Mathematics 39, April 1938, S. 350–360 (englisch)
• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde, Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-34283-4 (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes, Springer, New York 2004)

Einzelnachweise

1. ↑ Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime, Journal of the London Mathematical Society 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
2. ↑ Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
3. ↑ ^{a b} Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes, Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
4. ↑ Wilson prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Wilson Prime. In: MathWorld. (englisch)
• Wilson prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)