Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass 2^p−1 − 1 durch p² teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}.$

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.^[1]

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913)^[2] und 3511 (Beeger 1922).^[3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10¹⁵ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht.^[4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist,^[5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen x und y etwa log(log(y) / log(x)) Wieferich-Primzahlen liegen.^[6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.^[7]

Verwandtschaft mit dem großen fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:^[1]

Wenn x^p + y^p + z^p = 0, wobei x, y und z ganze Zahlen sind, p eine Primzahl ist und das Produkt x·y·z nicht teilbar durch p, dann ist p eine Wieferich-Primzahl, also 2^p−1 − 1 durch p² teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch 3^p−1 − 1 durch p² teilbar ist.^[8] Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind p=11 und p=1006003 (Kloss 1965).^[9]

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

• Aus der Wieferich-Primzahl w kann die Mersenne-Zahl M_n = M_w−1 = 2^w−1 −1 als Produkt M_w−1 = k·w² konstruiert werden.

n = w−1 ist somit (trivialerweise, da n geradzahlig) nicht prim, und M_n keine Mersenne-Primzahl (s. dort).

• Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen M_p < M_w−1 (mit primen Exponenten p) gibt, die durch w² teilbar sind. Dabei muss p ein Teiler von w−1 sein, wenn M_p durch w teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da w−1 nicht prim ist, handelt es sich bei 2^w−1−1 nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl 2^p−1 mit p=(w−1)/x geben, die durch w² teilbar ist; d.h. dass die Länge g(w) der multiplikativen zyklischen Subgruppe von w zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen g(1093) = 364 = 4·7·13 und g(3511)=1755 = 3³·5·13 nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen 2^p−1 sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".^[10]

• Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit (3⁵−1)/(3−1) = 11² die Bedingung w² teilt 3^p−1 (w,p prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt w=19 bei 2819³−1 = x·19⁴ das Wieferich-analog w=19 sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

• Für eine Wieferich-Primzahl p gilt:

$2^{p^2} \equiv 2 \pmod{p^2}.$

• Mit 2ⁿ ≡ 1 (mod p) tritt stets gleichzeitig 2ⁿ ≡ 1 (mod p²) auf.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Arthur Wieferich: Zum letzten Fermatschen Theorem, Journal für die reine und angewandte Mathematik 136, 1909, S. 293–302
2. ↑ Waldemar Meißner: Über die Teilbarkeit von 2^p−2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, 10. Juli 1913, S. 663–667
3. ↑ N. G. W. H. Beeger: On a new case of the congruence 2^p−1 ≡ 1 (mod p²), Messenger of Mathematics 51, 1922, S. 149–150 (englisch)
4. ↑ François G. Dorais, Dominic W. Klyve: Near Wieferich primes up to 6.7 × 10¹⁵ (PDF-Datei, 308 kB), 8. Oktober 2010 (englisch)
5. ↑ Wieferich prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)
6. ↑ Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes, Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
7. ↑ Joseph H. Silverman: Wieferich’s criterion and the abc-conjecture, Journal of Number Theory 30, Oktober 1988, S. 226–237 (englisch)
8. ↑ D. Mirimanoff: Sur le dernier théorème de Fermat, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’académie des sciences 150, 1910, S. 204–206; erweiterte Version: Sur le dernier théorème de Fermat, Journal für die reine und angewandte Mathematik 139, 1911, S. 309–324 (französisch)
9. ↑ K. E. Kloss: Some number-theoretic calculations, Journal of Research of the National Bureau of Standards 69B, Oktober–Dezember 1965, S. 335–336 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
10. ↑ Eric W. Weisstein: Mersenne Number. In: MathWorld. (englisch)

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch), (aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes, Springer, New York 2004)

Weblinks

• Wieferich@Home - search for Wieferich prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wieferich Prime. In: MathWorld. (englisch)
• Wieferich prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)