Begleitmatrix

Die Begleitmatrix bezeichnet einen Begriff aus der Linearen Algebra.

Definition

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms n-ten Grades $f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ über einem Körper ist die quadratische $n \times n$-Matrix

$A(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots & -a_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix}.$

Manchmal wird auch die Transponierte von A(f) verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Eigenschaften

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von A(f) ist gerade f.

Hat das Polynom f genau n verschiedene Nullstellen $\lambda_1, \dots, \lambda_n$, dann ist A(f) diagonalisierbar: $V A(f) V^{-1} = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ für die Vandermonde-Matrix $V = V(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$.