Zusammenhangskoeffizienten

Mit Zusammenhangskoeffizienten bezeichnet man in der Mathematik die Koeffizienten durch die zwei gegebene Folgen oder Tupel von Elementen wechselseitig als Linearkombination der jeweils anderen Größe ausgedrückt werden.

Die Einträge der Matrix für einen Basiswechsel oder Summationsfaktoren für Folgen sind Beispiele hierfür.

Voraussetzung ist die Lineare Unabhängigkeit der Elemente.

Beispiel

Es gilt mit dem Binomialsatz

$(x+1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k$

Durch kleine Umformung erhält man auch: $x^n = ((x+1)-1)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^{n-k} (x+1)^k$

Jetzt können wir also xⁿ und (x + 1)ⁿ durcheinander ausdrücken, die Zusammenhangskoeffizienten sind einmal ${n \choose k}$ und einmal $(-1)^{n-k} {n \choose k}$

Oft kann man die Zusammenhangskoeffizienten in einer Matrix zusammenfassen: In der i-ten Zeile stehen die Koeffizienten, um das i-te Element der einen Folge als Linearkombination der ersten i Elemente der anderen Folge auszudrücken.

In unserem Beispiel stünde in Zeile i, Spalte j eben ${i \choose j}$ bzw. $(-1)^{i-j} {i \choose j}$

Eine wichtige und nützliche Tatsache ist, dass diese Matrizen der Zusammenhangskoeffizienten stets invers zueinander sind.

Siehe auch

• Inversion (Diskrete Mathematik)