- Inversion (Diskrete Mathematik)
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In der diskreten Mathematik bezeichnet eine Inversion eine Koordinatentransformation zwischen verschiedenen Zahlenfolgen.
Inversionsformel
Seien
und
zwei Folgen von Polynomen mit
. Das heißt die Menge
und die Menge
bilden jeweils eine Basis des Vektorraums aller Polynome vom Grad kleinergleich n. Mit Hilfe der Inversionsformel kann jedes qn eindeutig durch
beziehungsweise jedes pn eindeutig durch
ausgedrückt werden. Das heißt es gibt eindeutig bestimmte Koeffizienten ank und bnk mit
beziehungsweise mit
Die Koeffizienten ank und bnk heißen Zusammenhangskoeffizienten. Setzt man ank = bnk = 0 für n < k, dann erhält man zwei (unendlich große) Dreiecksmatrizen, die zueinander invers sind. Sei also A = (aij) und B = (bij) dann gilt A = B − 1. Aus diesem Grund existieren Zahlenfolgen
und
mit
Beispiel
Über dem Vektorraum der Polynome bis zum Grad n stellen sowohl die Monome 1,x,x2,...,xn als auch die Polynome 1,x − 1,(x − 1)2,...,(x − 1)n eine Basis dar. Jedes Polynom aus der ersten Folge kann also als Linearkombination der Polynome der zweiten Folge dargestellt werden, und umgekehrt. Die Inversionsformelen dazu lauten
und
Dies ist ein Beispiel der Binomial-Inversion. Allgemein existieren also Familien
und
, so dass
gilt.
Quellen
- Martin Aigner: Diskrete Mathematik, 6., korrigierte Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0084-8, Kap. 2.3.
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