Lah-Zahlen

Die Lah-Zahlen beschreiben in der Mathematik die Zusammenhangskoeffizienten zwischen steigenden und fallenden Faktoriellen.

Sie wurden von Ivo Lah 1955 entdeckt. Es gilt:

$x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n L_{n,k} x^{\underline{k}}$

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

$L_{n,k} = { n-1 \choose k-1 } \frac{n!}{k!}$^[1]

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

$L_{n,k} = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!}$

Für die Inversionsformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der Kombinatorik eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten k-Partitionen einer nelementigen Menge.

Außerdem gilt:

$L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )$^[1]

wobei B_n,k für die Bell-Polynome steht.

Werte

$_n\!\!\diagdown\!\!^k$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1

(Folge A008297 in OEIS)

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Lah Numbers auf MathWorld