Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch Phönixzahl bei Scholtyssek) ist eine natürliche Zahl mit n Stellen, die folgende ungewöhnliche Eigenschaft besitzt: Wird diese Zahl mit einer natürlichen Zahl von 1 bis n multipliziert, so enthält das Produkt die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge.

Die kleinste zyklische Zahl ist die 1. Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl ist die 142857:

$1 \cdot 142.857 = 142.857$

$2 \cdot 142.857 = 285.714$

$3 \cdot 142.857 = 428.571$

$4 \cdot 142.857 = 571.428$

$5 \cdot 142.857 = 714.285$

$6 \cdot 142.857 = 857.142$

$7 \cdot 142.857 = 999.999$

Die nächstgrößere zyklische Zahl ist die 16-stellige 0588235294117647. Multipliziert man diese mit den Zahlen 1 bis 16, so zeigen die Ergebnisse diese Ziffern in derselben zyklischen Reihenfolge.

Leonard Eugene Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857... und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode. Entsprechend kann man mit den Primzahlen 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149 (dies sind genau die Primzahlen p, die 10 nicht teilen und für die es kein natürliches n < p − 1 gibt, sodass $10^n\equiv 1\pmod p$) die nächstgrößeren zyklischen Zahlen bestimmen.

Literatur

• Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin
• L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Washington 1932.