Zyklotron-Frequenz

Die Zyklotronfrequenz ist die Eigenfrequenz aufgrund der Umlauffrequenz geladener Teilchen (meist Elektronen) im homogenen Magnetfeld.

Allgemeines

Die Zyklotronfrequenz stimmt mit der Umlauffrequenz des Wellenvektors des geladenen Teilchens auf der Zyklotronbahn überein.

Sie ist proportional zur magnetischen Flussdichte B und hängt (im Falle von Elektronen) folgendermaßen von der Elektronenmasse m_e ab

$f = \frac{|e|\cdot B}{2\pi\cdot m_e}$ ,

wobei e die Elementarladung ist.

Die Zyklotronfrequenz ist unabhängig vom Bahnradius und führt daher zu einer charakteristischen Absorption elektromagnetischer Wellen (siehe Zyklotronresonanz) durch in einem Magnetfeld befindliche geladene Teilchen. Sie ist doppelt so groß wie die Larmorfrequenz.

Der Name Zyklotronfrequenz stammt vom Teilchenbeschleuniger Zyklotron. Hier wird die Gleichheit der Umlauffrequenz geladener Teilchen im Magnetfeld ausgenutzt, um sie mit einem elektrischen Wechselfeld zu beschleunigen.

Herleitung

Im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als Zentripetalkraft und lenkt geladene Teilchen auf eine Kreisbahn ab. Ihre Gesamtgeschwindigkeit wird dabei nicht verändert, somit bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft gleich. Es entsteht eine gleichförmige Kreisbewegung:

$F_l = F_z\frac{}{}$

$e v B = \frac{m v^2}{r}$

$e B = \frac{m v}{r} \qquad\mid v = \omega r = 2\pi fr$

$e B = m 2\pi f\frac{}{}$

$f = \frac{e B}{2\pi m}$

Relativistische Effekte

Aufgrund der Effekte der speziellen Relativitätstheorie gilt diese Beziehung ab Geschwindigkeiten von v/c = 0.1 nicht mehr sehr genau.

Für die Umlauffrequenz eines schnelleren Elektrons im Magnetfeld gilt relativistisch

$f = \frac{1}{\gamma} \frac{e B}{2\pi m_0} = \sqrt{1 - \left(\frac{v^2}{c^2}\right)} \cdot \frac{e B}{2\pi m_0}$,

wobei γ der Lorentzfaktor ist.

Weiteres

Als Zyklotron-Energie bezeichnet man

$\hbar\omega_c$

mit $\hbar$ - Plancksches Wirkungsquantum und

ω_c = 2πf.

Abhandlungen, die das Gaußsche CGS-System mit der Flussdichte B in der Einheit Gauß, die Elementarladung e in der Einheit Franklin und die Masse m in der Einheit Gramm verwenden, definieren die Zyklotronfrequenz üblicherweise als

$\omega_c=\frac{e\cdot B}{m\cdot c}$

Die Landau’sche magnetische Länge beträgt

$\ell_B=\sqrt{\hbar c/eB}$

Häufig werden auf diese Weise Gleichungen, in denen das Magnetfeld B durch $\hbar\omega_c$ und $\ell_B$ ausgedrückt ist, formal identisch mit den entsprechenden Gleichungen im SI-System.