Ägyptisches Multiplizieren

Die Russische Bauernmultiplikation (auch Ägyptisches Multiplizieren oder Abessinische Bauernregel genannt) ist ein einfaches Verfahren zur Multiplikation zweier natürlicher Zahlen.

Es war schon im Altertum bekannt, in Deutschland wurde es bis ins Mittelalter verwendet. In Russland war es bis weit in die Neuzeit üblich, daher der Name.

Das Verfahren hat den Vorteil, dass man im Prinzip nur halbieren, verdoppeln und addieren können muss, das kleine Einmaleins wird nicht benötigt. Implizit wird eine schriftliche Multiplikation im Binärsystem durchgeführt.

Verfahren

Beschreibung

Und so funktioniert das Verfahren:

1. Man schreibt die beiden zu multiplizierenden Zahlen nebeneinander.
2. Auf der linken Seite werden die Zahlen jeweils halbiert (Reste abgerundet) und die Ergebnisse untereinander geschrieben, bis man zur 1 gelangt.
3. Auf der rechten Seite werden die Zahlen verdoppelt und untereinander geschrieben.
4. Die rechts stehenden (verdoppelten) Zahlen werden gestrichen, wenn die links stehende Zahl gerade ist.
5. Die Summe der nicht gestrichenen rechts stehenden Zahlen ergibt das gesuchte Produkt.

Beispiel: 27 mal 82

A-Seite	B-Seite	Dies addieren
27	82	82
13	164	164
6	328	—
3	656	656
1	1312	1312
		Ergebnis: 2214

Algorithmus

Der folgende Algorithmus in Python soll die Funktion demonstrieren. In der Praxis eignet sich das Verfahren vor allem für die Rechnung mit binären Zahlen, da hier die Verdoppelung und die Halbierung durch eine einfache Bit-Verschiebung (left bzw. right shift) möglich ist:

 def rusmul(a,b):
   """liefert das Produkt zweier natürlicher Zahlen a und b"""
   ergebnis = 0
   while a > 0:
       rest = a % 2          # Modulo (Rest)
       if rest == 1: 
          ergebnis = ergebnis + b
          a = a - 1
       b = b << 1            # Verdopplung
       a = a >> 1            # Halbieren ohne Rest
   return ergebnis

Beispiele

35 · 89
35	89
17	178
8	356
4	712
2	1424
1	2848
Ergebnis	3115

84 · 123
84	123
42	246
21	492
10	984
5	1968
2	3936
1	7872
Ergebnis	10.332

Beweis

Die Korrektheit der russischen Multiplikation kann durch vollständige Induktion bewiesen werden:

Bezeichne dazu RM(n, m) das Rechenverfahren und Ergebnis der russischen Multiplikation für die natürlichen Zahlen n und m.

Induktionsanfang

Für $n = 1\!\,$ und jedes beliebige $m \in \N$ gilt: $RM(n, m) = R(1, m) = 1 \cdot m = n \cdot m$.

Für $n = 2\!\,$ und jedes beliebige $m \in \N$ gilt: $RM(n, m) = R(2, m) = 2 \cdot m = n \cdot m$.

Induktionsschritt

Sei $RM\!\,$ bereits bewiesen für $RM \left( \left \lfloor \tfrac n 2 \right \rfloor, 2m \right)$ (Induktionsannahme).

Es gilt $RM(n, m) = RM \left( \left \lfloor \tfrac n 2 \right \rfloor, 2m \right) + x$, wobei $x = 0\!\,$, wenn $n\!\,$ gerade ist und $x = m\!\,$, wenn $n\!\,$ ungerade ist.

Daraus folgt aufgrund der Induktionsannahme $RM(n, m) = n \cdot m$.

Analoges Verfahren: Binäre Exponentiation

Dieselbe Idee kann auch benutzt werden, um Potenzen mit großen ganzzahligen Exponenten zu berechnen: Der Exponent wird schrittweise halbiert und die Basis quadriert, am Ende werden die Potenzen mit ungeraden Exponenten aufmultipliziert. Dieses Verfahren heißt binäre Exponentiation.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Russian Multiplication auf MathWorld (englisch) und in WolframDemonstrationsProject (engl.)