Äquivalenzformel

Als Bikonditional, Bisubjunktion oder materiale Äquivalenz, manchmal (aber mehrdeutig) einfach nur Äquivalenz bezeichnet man

• eine zusammengesetzte Aussage, die genau dann wahr ist, wenn ihre beiden Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben, also entweder beide wahr oder beide falsch sind;
• die entsprechend definierte Wahrheitswertfunktion;
• das sprachliche Zeichen (den Junktor), mit dem diese beiden Teilaussagen zusammengesetzt werden.

Schreibweise und Lesart

Als Zeichen für das Bikonditional als Junktor wird meist der Doppelpfeil $\leftrightarrow$, der dreifache Querstrich $\equiv$ oder der Doppelpfeil mit zwei Querlinien $\Leftrightarrow$ verwendet, gelegentlich auch die Tilde ~. (Fast jedes dieser Zeichen wird von unterschiedlichen Autoren und in unterschiedlichen Zusammenhängen auch in anderer Bedeutung verwendet, am häufigsten die Tilde für die Satzverneinung und der Doppelpfeil mit zwei Querlinien $\Leftrightarrow$ für die metasprachliche Äquivalenz.) In der polnischen Notation wird das Bikonditional durch den Großbuchstaben E ausgedrückt.

In der natürlichen Sprache gibt es mehrere Möglichkeiten, ein Bikonditional $A \leftrightarrow B$ auszudrücken, zum Beispiel die Formulierungen „A genau dann, wenn B“ (abgekürzt als „A gdw. B“), „A dann und nur dann wenn B“ oder „A ist hinreichend und notwendig für B“; auch die im Englischen verwendete Formulierung „A if and only if B“ findet sich abgekürzt als „A iff B“ gelegentlich sogar in deutschsprachigen Texten. Jede dieser Formulierungen ist dazu geeignet, den Ausdruck $A \leftrightarrow B$ zu lesen.

Bedeutung

Für die zweiwertige, wahrheitsfunktionale klassische Logik ist der Wahrheitswertverlauf (die Wahrheitstabelle) und damit die Bedeutung des Bikonditionals wie folgt definiert („w“ steht für „wahr“; „f“ steht für „falsch“):

P	Q	$P\leftrightarrow Q$
w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	w

In der klassischen Logik sind die Aussagen $A \leftrightarrow B$ und $(A \rightarrow B) \and (B \rightarrow A)$ (das heißt die Konjunktion des Konditionals $A \rightarrow B$ und des Konditionals $B \rightarrow A$) äquivalent, das heißt sie haben denselben Wahrheitswerteverlauf. Aus diesem Grund wird das Bikonditional oft nicht als selbstständiger Junktor eingeführt, sondern durch folgende Definition auf Konjunktion und Konditional zurückgeführt:

$\varphi \leftrightarrow \psi := (\varphi \rightarrow \psi) \and (\psi \rightarrow \varphi)$

Dabei sei „:=“ das metasprachliche Zeichen für „sei definiert als“ und seien $\varphi$ und ψ metasprachliche Satzvariablen, also Platzhalter, die für beliebige Sätze der logischen Objektsprache stehen dürfen. Als konkretes Beispiel würde der Ausdruck $P \leftrightarrow (Q \and R)$ gemäß dieser Definition aufgelöst zu $(P \rightarrow (Q \and R)) \and ((Q \and R) \rightarrow P)$.

Obige Äquivalenz und obige Definierbarkeit zeigen insbesondere, dass das Bikonditional eine hinreichende und notwendige Bedingung ausdrückt: $A \rightarrow B$ sagt aus, dass A eine hinreichende Bedingung für B und dass B eine notwendige Bedingung für A ist; und $B \rightarrow A$ sagt aus, dass B eine hinreichende Bedingung für A und dass A eine notwendige Bedingung für B ist.

Beispiele

• $(A \and (B \and C)) \leftrightarrow (A \and C) \and (B \and C)$ ist ein Bikonditional, das immer wahr ist, das heißt eine Tautologie.
• $A \leftrightarrow \neg A$ ist ein Bikonditional, das niemals wahr ist.
• $(A \and B) \leftrightarrow C$ ist ein Bikonditional, das wahr oder falsch sein kann, je nachdem, wie es um die Wahrheit der Teilaussagen A, B, C beschaffen ist.
• „Der Mond ist genau dann eine Lichtquelle, wenn Isaak Newton ein Deutscher war.“ ist ein wahres Bikonditional, ebenso: „Der Mars ist genau dann ein Planet, wenn die Ozeane Salz enthalten.“^[1]. Dieses Beispiel zeigt, dass sich die Paradoxie der materialen Implikation analog beim Bikonditional auftritt: Es kann wahr sein, ohne dass irgendein inhaltlicher Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen besteht.

Quellen

1. ↑ beide Beispiele entnommen aus Wesley C. Salmon: Logik, Stuttgart: Reclam 1983, ISBN 3-15-007996-9, Seite 81