Notwendige und hinreichende Bedingung

Notwendige Bedingung und hinreichende Bedingung sind Begriffe aus der Aussagenlogik und Kausalitätstheorie, welche die philosophische Bedingung genauer explizieren. Sie unterscheiden zwischen notwendigen und hinreichenden Typen von Voraussetzungen, nach denen eine Aussage bzw. ein Ereignis als Subjunktion oder kausal verursachte Wirkung einer oder mehrerer anderer Aussagen bzw. Ereignisse bezeichnet werden kann. Diese Unterscheidung ermöglicht die genauere Einordnung von Schlussfolgerungen.

Notwendige Bedingung

Ein Korb ist eine notwendige Bedingung, um Basketball zu spielen – ohne ihn geht es nicht, aber es braucht noch weiteres (z. B. einen Basketball), um spielen zu können.

Eine notwendige Bedingung B für eine Aussage K ist eine Aussage, die zwingend wahr (erfüllt) sein muss, wenn K wahr ist. Es kommt also nicht vor, dass K erfüllt ist, ohne dass B erfüllt ist. Umgangssprachlich wird eine notwendige Bedingung daher auch ,K.-o.-Kriterium‘ genannt.

Der Zusammenhang wird durch die symbolische Schreibweise $K \rightarrow B$ ausgedrückt, sprich "K impliziert B" oder "aus K folgt B". Der Pfeil, der den Zusammenhang symbolisiert, ist dabei nicht zeitlich zu verstehen, sondern steht vielmehr für die Reihenfolge, in der ein logischer Schluss möglich ist.

Der umgekehrte Schluss, also $B \rightarrow K$, muss nicht gültig sein.

Gibt es mehrere notwendige Bedingungen $B_1, B_2, \dots$, d. h. gilt $K\rightarrow B_1, K\rightarrow B_2, \dots$ so müssen alle gleichzeitig erfüllt sein (logische Konjunktion): $K \rightarrow B_1 \land B_2 \land \dots$.

Beispiele

Nur wer volljährig ist, darf an der Bundestagswahl teilnehmen. Volljährigkeit ist eine notwendige Bedingung für das Wahlrecht zum Deutschen Bundestag. Sie ist aber nicht hinreichend: man muss noch weitere notwendige Bedingungen erfüllen, z. B. die deutsche Staatsbürgerschaft besitzen.

Um einen gegebenen Funktionswert als Extrempunkt einer stetig differenzierbaren Funktion $\!\ f$ im Rahmen einer Kurvendiskussion nachzuweisen, ist es notwendige Bedingung für diesen Nachweis, dass der untersuchte Wert innerhalb der Ableitungsfunktion $f\!\,'$ null ergibt, die Tangente der Funktion also parallel zur x-Achse ist. Ohne diese parallele Tangente zur x-Achse ist es nicht möglich, einen Extrempunkt einer stetig differenzierbaren Funktion nachzuweisen.

Hinreichende Bedingung

Eichenblätter zu fressen, ist für die Maus eine hinreichende Bedingung, um satt zu werden – es geht auch anders (z. B. mit Karotten), führt aber direkt zur Wirkung, nämlich der Sättigung.

Eine hinreichende Bedingung ist eine ersetzbare Voraussetzung, bei deren Erfüllung eine Subjunktion oder Wirkung zwangsläufig eintritt und keine weiteren Voraussetzungen benötigt werden. Das Vorliegen der Subjunktion oder Wirkung kann jedoch auch andere Ursachen haben, das heißt, wenn die Subjunktion oder Wirkung vorliegt, ist es nicht zwingend, dass eine bestimmte hinreichende Bedingung erfüllt sein muss.

Hat eine Subjunktion mehrere hinreichende Bedingungen $B_1, B_2, \dots$, d. h. gilt $B_1\rightarrow K, B_2\rightarrow K, \dots$, so genügt es, wenn mindestens eine erfüllt ist (logische Disjunktion): $B_1 \vee B_2 \vee ... \rightarrow K$

Kann eine Wirkung durch mehrere Bedingungen auftreten, die alle gleichermaßen und zwangsläufig zu dieser Wirkung führen, spricht man von multipler Erfüllbarkeit.

Beispiele

Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. Regen ist hinreichend (ausreichend) dafür, dass die Straße nass wird. Regen ist aber keine notwendige Bedingung, weil es auch andere Möglichkeiten gibt, eine Straße zu befeuchten, zum Beispiel durch das Besprengen mit Wasser aus einem Schlauch.

Verfügt ein Lebewesen über eine funktionierende Lunge, ist es in der Lage, Sauerstoff aus der Umgebung aufzunehmen und Kohlenstoffdioxid wieder abzugeben (diese Fähigkeit ist selbst notwendige Bedingung der Atmung). Die funktionstüchtige Lunge führt zwangsläufig zu dieser Befähigung, jedoch ist es auch möglich, diese Fähigkeit über Kiemen zu erlangen.

Notwendige und zugleich hinreichende Bedingung

Eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung ist eine unersetzbare Voraussetzung, bei deren Erfüllung eine Subjunktion oder Wirkung zwangsläufig eintritt. Genannt wird dieser Typ von Bedingungen auch iff (engl. if and only if, falls und nur falls‘, dt. Entsprechung: g. d. w.; genau dann, wenn oder auch dann und nur dann, Formelzeichen $\iff$).

Eine Subjunktion kann nur eine einzige zugleich notwendige wie auch hinreichende Bedingung haben. Dies nennt sich Bikonditional: $A \leftrightarrow B$

Beispiele

Eine Person ist dann und nur dann ein Junggeselle, wenn sie niemals geheiratet hat.

Zusammenhänge in der Aussagenlogik

Notwendige und hinreichende Bedingung stehen in engem Zusammenhang. Im Rahmen der Aussagenlogik bedeutet A $\rightarrow$ B (gesprochen „A impliziert B“): Wenn ein Sachverhalt A eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt B ist, dann ist B zugleich eine notwendige Bedingung für A. Auch der Umkehrschluss ist gültig: Falls A eine notwendige Bedingung für B ist, dann ist B eine hinreichende Bedingung für A. In der Aussagenlogik lassen notwendige und hinreichende Bedingungen allein keine weiteren Schlüsse auf die Art des Zusammenhang zwischen Bedingung und Bedingtem. Hierfür bedarf es weiterer Überlegungen und oft auch empirischer Untersuchungen.

Beispiele

„Nur wenn eine Person volljährig ist (A), darf sie wählen (B)“ ist gleichbedeutend mit „Schon wenn eine Person wählen darf (B), ist sie volljährig (A)“. Verdeutlichen kann man sich diesen oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang, indem man sich die Situation in einem Wahllokal vor Augen führt: Wenn man dort eine Person wählen sieht, dann kann man – auch wenn sie vielleicht sehr jung aussieht – daraus schließen, dass sie volljährig sein muss, weil in der Regel ausschließlich volljährige Personen wählen dürfen.

Wenn ein virtueller Lemming einen Abgrund hinunterfällt, ist dies eine hinreichende Bedingung für seinen virtuellen Tod, weil dieser zwangsläufig eintritt und zugleich durch andere Bedingungen ersetzt werden kann (z. B. verbrennen). Obwohl dies zeitlich nacheinander geschieht, wird in der Aussagenlogik keine zeitliche Reihenfolge, sondern lediglich eine Verknüpfung zwischen zwei Aussagen untersucht. Umgekehrt ist der virtuelle Tod des virtuellen Lemmings also eine notwendige Bedingung für dessen Hinabfallen in den Abgrund, er ist im Rahmen der Spielmechanik als Bedingung nicht ersetzbar: ist der Lemming nicht tot, ist er (zuvor) nicht hinabgefallen.

Weiterentwicklungen

Die philosophische und rechtswissenschaftliche Methode der Conditio-sine-qua-non-Formel verwendet das Konzept der notwendigen Bedingung, um eine kausale Ursache zu definieren.

Die INUS-Bedingung des australischen Philosophen John Mackie basiert auf dem nicht hinreichenden, aber notwendigen Teil einer nicht notwendigen, aber hinreichenden Bedingung.

Siehe auch

• Glossar mathematischer Attribute, Einträge hinreichend und notwendig

Weblinks

• Necessary and Sufficient Conditions. Eintrag, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3