Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein wichtiges Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.

Heuristische klassische Betrachtung

Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht auf die Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.

Mathematischer Beweis

Für ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld $\mathbf B$ mit Vektorpotential $\mathbf A$ ist die Hamiltonfunktion definiert über $H^{(1)}(\mathbf{p} - \frac{q}{c} \mathbf A(\mathbf r,t),\mathbf r_i)$ ^[1] , wobei das komplizierte erste Argument den sog. kinetischen Impuls $\mathbf p_{kin}\,\,(=m\mathbf v)$ darstellt .

Die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen ist in der statistischen Physik klassisch definiert über $Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\, \mathrm{e}^{-\beta H(\lbrace \mathbf p_i - \frac{q}{c} \mathbf A(\mathbf r_i), \mathbf r_i \rbrace)}\,,$ wobei dies in 3 Dimensionen behandelt wird.

Nun substituiert man $\mathbf p_i' = \mathbf p_i - \frac{q}{c} \mathbf A(\mathbf r_i)$. Da alle Impulse $\mathbf p_i$ über den gesamten Raum $\mathbb{R}^3$ integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu $Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p' \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\, \mathrm{e}^{-\beta H(\lbrace \mathbf p_i', \mathbf r_i \rbrace)}$ Da diese nun offensichtlich nicht mehr vom Vektorpotential $\mathbf A$ und somit auch nicht vom externen Magnetfeld $\mathbf B$ abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,

$\mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,,$ wobei F die freie Energie ist, $F = - k_B T \ln(Z)\,.$

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. cgs-System benutzt. Im alternativen Internationales Einheitensystem ersetzt man c durch 1.

Siehe auch

• Magnetismus, insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.