- Bohr-van-Leeuwen-Theorem
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Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein wichtiges Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.
Inhaltsverzeichnis
Heuristische klassische Betrachtung
Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht auf die Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.
Mathematischer Beweis
Für ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld
mit Vektorpotential
ist die Hamiltonfunktion definiert über
[1] , wobei das komplizierte erste Argument den sog. kinetischen Impuls
darstellt .
Die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen ist in der statistischen Physik klassisch definiert über
wobei dies in 3 Dimensionen behandelt wird.
Nun substituiert man
. Da alle Impulse
über den gesamten Raum
integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu
Da diese nun offensichtlich nicht mehr vom Vektorpotential
und somit auch nicht vom externen Magnetfeld
abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,
wobei F die freie Energie ist,
Einzelnachweise und Fußnoten
- ↑ Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. cgs-System benutzt. Im alternativen Internationales Einheitensystem ersetzt man c durch 1.
Siehe auch
- Magnetismus, insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.
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