Magnetisches Moment

Physikalische Größe
Name	Magnetisches Moment
Formelzeichen der Größe	m, µ
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI A·m2 I·L2

Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) ist in der Physik ein Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols und ist analog zum elektrischen Dipolmoment definiert. Es ist für eine allgemeine Stromdichteverteilung $j (\vec{r})$ gegeben durch:

$\vec{m} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^3r \vec{r} \times \vec{\jmath}(\vec{r})$

Für Teilchen mit Spin $\vec s$ beträgt das magnetische Dipolmoment

$\vec{m} = \gamma \cdot \vec{s},$

wobei γ gyromagnetisches Verhältnis genannt wird. Die Einheit des magnetischen Moments lautet im SI-System A·m². Multipliziert mit der Permeabilität lautet die Einheit T·m³.

Beispiele

Ebene Leiterschleife

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt $\vec{\jmath}(\vec{r}) \; \mathrm{d}^3r = I \; \mathrm{d}\vec{r}$. Dabei bezeichnet $\vec{\jmath}(\vec{r})$ die Stromdichte am Ort $\vec{r}$, I die Stromstärke durch die Leiterschleife, $\int \mathrm{d}^3r$ ein Volumenintergral und $\int \mathrm{d}\vec{r}$ ein Wegintegral entlang der Leiterschleife. Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

$\vec{m} = \frac{I}{2} \int_C (\vec{r} \times \mathrm{d}\vec{r}) = I\cdot \vec{A} = IA \vec{e}$.

Dabei ist A die Querschnittsfläche und I die Stromstärke.

Stromdurchflossene lange Spule

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl n, Stromstärke I und Fläche A

$\vec{m}=n\;I\;\vec{A}.$

Die Kenntnis des magnetischen Moments eines magnetischen Dipols erlaubt die Berechnung des auf ihn in einem externen Magnetfeld wirkenden Drehmoments $\vec{M}$ als Kreuzprodukt mit der magnetischen Flussdichte $\vec{B}$

$\vec{M}=\vec{m} \times \vec{B}.$

Dadurch kann zum Beispiel das Drehmoment eines Elektromotors berechnet werden.

Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin $\vec{s}$ besitzen ein magnetisches Moment, das oft mit $\vec{\mu}$ bezeichnet wird. Für ein Teilchen mit der Ladung q und Masse m besteht folgender Zusammenhang zwischen magnetischem Moment und Spin:

$\vec{\mu} = g \, \frac{q}{2\,m} \vec{s}$ .

Dabei ist g der Landé-Faktor, q die Ladung und m die Masse des Teilchens. $\tfrac{e\,\hbar}{2\,m_e} = \mu_{\mathrm{B}}$ wird auch das Bohrsche Magneton genannt. In der letzten Formel wurde nicht das SI-Einheitensystem verwendet, sondern das in diesem Gebiet der Physik gebräuchlichere Gaußsche Einheitensystem (siehe auch elektromagnetische Einheiten).

Für Atomkerne fasst man die Faktoren vor dem Spin zum gyromagnetischen Verhältnis (auch magnetogyrisches Verhältnis genannt) zusammen. Diese Bezeichnung ist besonders in der NMR-Spektroskopie gebräuchlich. Das gyromagnetische Verhältnis ist eine charakteristische Konstante jeder Atomsorte.

$\gamma = \frac{g \, \mu_{\mathrm{K}}}{\hbar}$ .

μ_K ist hierbei das Kernmagneton. Es ist zu unterscheiden vom Magneton des Protons μ_p = 2,79μ_N = 2,79μ_K. N steht hier für Nukleon und deutet schon an, dass Kernmagnetons gerne in Einheiten von μ_N angegeben werden.

Nach der Dirac-Theorie ist der g-Faktor des Elektrons exakt 2, quantenelektrodynamisch ergibt sich ein Wert von etwa 2,0023. Durch eine präzise Messung kann so die Quantenelektrodynamik kontrolliert werden, die Messungen sind mit den Vorhersagen der Quantenelektrodynamik in hervorragender Übereinstimmung.

Auch das äußerlich neutrale Neutron hat ein von Null verschiedenes magnetisches Moment. Dies weist darauf hin, dass das Neutron kein „elementares“ Teilchen, sondern zusammengesetzt ist.

Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols

Ein magnetischer Dipol $\vec{m}$ am Koordinatenursprung führt am Ort $\vec{r}$ zu einer magnetischen Flussdichte

$\vec{B}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r}) - \vec{m}r^2}{r^5}$ .

Sowohl Rotation als auch Divergenz dieses Feldes verschwinden. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

$\vec{A}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3}$ ,

wobei $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ ist.

Literatur

• John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.