Boolescher Differentialkalkül

Der Boolesche Differentialkalkül (BDK) ist ein Teilgebiet der Booleschen Algebra, der sich speziell mit Änderungen von Booleschen Variablen und Booleschen Funktionen beschäftigt. Die Entwicklung des Booleschen Differentialkalküls wurde durch die Arbeiten von Sheldon B. Akers (1959) und A.D. Talantsev (1959) eingeleitet. Seit dieser Zeit wurden sowohl in der Theorie als auch in der Anwendung beim Schaltungsentwurf wichtige Ergebnisse erzielt. Insbesondere die Arbeiten von Dieter Bochmann und Christian Posthoff (1981), André Thayse (1981) sowie Bochmann und Steinbach (1991) waren für die Entwicklung des Booleschen Differentialkalküls von Bedeutung.

Boolesche Differentialoperatoren nehmen im BDK eine wichtige Stellung ein. Sie gestatten die Anwendung eines dem der klassischen Analysis verwandten Differentialbegriffs auf logische Funktionen.

Das Differential dx_i einer Booleschen Variablen x_i modelliert den Zusammenhang:

$dx_i = \begin{cases} 0, & \text{keine Aenderung von } x_i\\ 1, & \text{Aenderung von } x_i \end{cases}$

Dabei ist nichts über die Natur, die Ursachen oder Folgen der Änderung vorausgesetzt. Die Differentiale dx_i sind ebenfalls binäre Größen. Man kann mit ihnen wie mit den üblichen binären Variablen rechnen.

Mit Hilfe des Booleschen Differentialkalküls können unterschiedliche Ansätze der ereignisdiskreten Systemtheorie, wie

• die Automatentheorie,
• die Petri-Netz-Theorie und
• die Supervisory Control Theory

in einer einheitlichen und geschlossenen Form behandelt und deren spezifische Vorteile vereinigt werden.

Literatur

• Sheldon B. Akers: On a Theory of Boolean Functions. SIAM J., 7, 487-498, 1959.
• A.D. Talantsev: On the Analysis and Synthesis of Certain Electrical Circuits by Means of Special Logical Operators. Automat. i telemeh., 20, 898-907, 1959.
• André Thayse: Boolean Calculus of Differences, Springer Berlin, 1981, ISBN 9780387102863.
• Dieter Bochmann, Christian Posthoff:. Binäre dynamische Systeme, R. Oldenbourg Verlag, München, 1981, ISBN 348625071X.
• Dieter Bochmann, Bernd Steinbach: Logikentwurf mit XBOOLE. VEB Verlag Technik, Berlin, 1991, ISBN 3341010068.
• Frank Dresig: Gruppierung - Theorie und Anwendung in der Logiksynthese, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1992, ISBN 3-18-144509-6.
• Christian Posthoff, Bernd Steinbach: Logic Functions and Equations - Binary Models for Computer Science. Springer, Netherlands, 2005, ISBN 1-4020-2937-3.
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Logic Functions and Equations - Examples and Exercises. Springer Science + Business Media B.V., 2009, ISBN 978-1-4020-9594-8.

Normdaten: SWD in der DNB: 4146287-7