Boolesche Algebra

In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert. Gleichwertig zu booleschen Algebren sind boolesche Ringe, die von UND und ENTWEDER-ODER (exklusiv-ODER) beziehungsweise Durchschnitt und symmetrischer Differenz ausgehen.

Operatoren

$\wedge$	UND
$\lor$	ODER
$\neg$	NICHT

Zur Geschichte

Die boolesche Algebra ist nach George Boole benannt, da sie auf dessen Logikkalkül von 1847 zurückgeht, in dem er erstmals algebraische Methoden in der Klassenlogik und Aussagenlogik anwandte. Ihre heutige Form verdankt sie der Weiterentwicklung durch Mathematiker wie John Venn, W. Stanley Jevons, Charles Peirce, Ernst Schröder und Giuseppe Peano. In Booles originaler Algebra entspricht die Multiplikation dem UND, die Addition dagegen weder dem exklusiven ENTWEDER-ODER noch dem inklusiven ODER („mindestens eines von beiden ist wahr“). Die genannten Boole-Nachfolger gingen dagegen vom inklusiven ODER aus: Schröder entwickelte 1877 das erste formale Axiomensystem einer booleschen Algebra in additiver Schreibweise.^[1] Peano brachte es 1888 in die heutige Form (siehe unten) und führte dabei die Symbole $\cap$ und $\cup$ ein.^[2] Das aussagenlogische ODER-Zeichen $\or$ stammt von Russell 1906;^[3] Arend Heyting führte 1930 die Symbole $\wedge$ und $\neg$ ein. Den Namen „boolesche Algebra“ bzw. „boolean algebra“ prägte Henry Maurice Sheffer erst 1913. Das exklusive ENTWEDER-ODER, das Booles originaler Algebra näher kommt, legte erst Ivan Ivanovich Žegalkin 1927 dem booleschen Ring zugrunde, dem Marshall Harvey Stone 1936 den Namen gab. 1940 benutzte Claude Shannon boolesche Algebren erstmals zur Beschreibung elektrischer Schaltungen.

Definition

Das redundante Axiomensystem von Peano (mit zusätzlichen ableitbaren Axiomen) charakterisiert eine boolesche Algebra als Menge mit Nullelement 0 und Einselement 1, auf der die zweistelligen Verknüpfungen $\wedge$ und $\lor$ und eine einstellige Verknüpfung $\neg$ definiert sind, durch folgende Axiome (originale Nummerierung von Peano):^[2]

Kommutativgesetze	(1)	$a\land b = b\land a$	(1’)	$a\lor b = b\lor a$
Assoziativgesetze	(2)	$(a\land b)\land c = a\land (b\land c)$	(2’)	$(a\lor b)\lor c = a\lor (b\lor c)$
Idempotenzgesetze	(3)	$a\land a=a$	(3’)	$a\lor a=a$
Distributivgesetze	(4)	$a\land (b\lor c) = (a\land b) \lor (a \land c)$	(4’)	$a\lor (b\land c) = (a\lor b) \land (a \lor c)$
Neutralitätsgesetze	(5)	$a\land 1 = a$	(5’)	$a\lor 0 = a$
Extremalgesetze	(6)	$a\land 0=0$	(6’)	$a\lor 1=1$
Doppelnegationsgesetz (Involution)	(7)	$\neg(\neg a)=a$
De Morgansche Gesetze	(8)	$\neg(a\land b)=\neg a\lor\neg b$	(8’)	$\neg(a\lor b)=\neg a\land\neg b$
Komplementärgesetze	(9)	$a\land\neg a=0$	(9’)	$a\lor\neg a=1$
Dualitätsgesetze	(10)	$\neg 0 = 1$	(10’)	$\neg 1 = 0$
Absorptionsgesetze	(11)	$a\lor(a\land b)=a$	(11’)	$a\land(a\lor b)=a$

Jede Formel in einer booleschen Algebra hat eine duale Formel, die durch Ersetzung von 0 durch 1 und $\wedge$ durch $\lor$ und umgekehrt entsteht. Ist die eine Formel gültig, dann ist es auch ihre duale Formel, wie im Peano-Axiomensystem jeweils (n) und (n').

Die Komplemente haben nichts mit inversen Elementen zu tun, denn die Verknüpfung eines Elementes mit seinem Komplement liefert das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung.

Definition als Verband

Eine boolesche Algebra ist ein distributiver komplementärer Verband. Diese Definition geht nur von den Verknüpfungen $\wedge$ und $\lor$ aus und umfasst die Existenz von 0, 1 und $\neg$ und die unabhängigen Axiome (1)(1’)(2)(2’)(11)(11’)(4)(9)(9’) des gleichwertigen Axiomensystems von Peano. Auf einer booleschen Algebra ist wie in jedem Verband durch $a\le b \iff a=a\land b$ eine partielle Ordnung definierbar; bei ihr haben je zwei Elemente ein Supremum und ein Infimum. Bei der mengentheoretischen Interpretation ist $\le$ gleichbedeutend zur Teilmengenordnung $\subseteq$.

Definition nach Huntington

Eine kompaktere Definition ist das Axiomensystem nach Huntington:

Eine boolesche Algebra ist eine Menge B mit zwei Verknüpfungen auf B, so dass für alle Elemente $a \in B$ und $b \in B$ gilt:

• Kommutativität: (1) und (1’)
• Distributivität: (4) und (4’)
• Existenz neutraler Elemente: Es gibt Elemente $0 \in B$ und $1 \in B$, so dass (5) und (5’)
• Existenz von Komplementen: Zu jedem $a \in B$ gibt es $\neg a \in B$, so dass (9) und (9’)

(Die manchmal separat geforderte Abgeschlossenheit der Verknüpfungen ist hier schon in der Formulierung „Verknüpfungen auf B“ enthalten.)

Auch aus diesen vier Axiomen lassen sich alle oben genannten Gesetze und weitere ableiten. Auch lässt sich aus dem Axiomensystem, das zunächst nur die Existenz neutraler und komplementärer Elemente fordert, deren Eindeutigkeit ableiten, d.h. es kann nur ein Nullelement, ein Einselement, und zu jedem Element nur ein Komplement geben.

Schreibweise

Die Operatoren boolescher Algebren werden verschiedenartig notiert. Bei der logischen Interpretation als Konjunktion, Disjunktion und Negation schreibt man sie als $\wedge$, $\lor$ und $\neg$ und verbalisiert sie als UND, ODER, NICHT bzw. AND, OR, NOT. Bei der mengentheoretischen Interpretation als Durchschnitt, Vereinigung und Komplement werden sie als $\cap$, $\cup$ und $\complement$ geschrieben. Zur Betonung der Abstraktion in der allgemeinen booleschen Algebra werden auch Symbolpaare wie $\sqcap$, $\sqcup$ oder $\ast$, $\circ$ benutzt. In Schaltkreisen benutzt man oft die definierbaren Verknüpfungen NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) und XOR (EXCLUSIVE OR). Mathematiker schreiben gelegentlich · für UND und + für ODER (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition anderer algebraischer Strukturen) und stellen NICHT mit einem Überstrich oder einer Tilde ~ dar. Diese Notation ist auch in der Schaltalgebra zur Beschreibung der booleschen Funktion digitaler Schaltungen üblich.

In diesem Artikel werden die Operatoren $\wedge$, $\lor$ und $\neg$ verwendet.

Beispiele

Zweielementige boolesche Algebra

Die wichtigste boolesche Algebra hat nur die zwei Elemente 0 und 1. Die Verknüpfungen sind wie folgt definiert:

Konjunktion $\wedge$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Disjunktion $\lor$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Negation   $\neg$ 0 1 1 0

Diese Algebra hat Anwendungen in der Aussagenlogik, wobei 0 als „falsch“ und 1 als „wahr“ interpretiert werden. Die Verknüpfungen ${\land},{\lor},{\neg}$ entsprechen den logischen Verknüpfungen UND, ODER, NICHT. Ausdrücke in dieser Algebra heißen boolesche Ausdrücke.

Auch für digitale Schaltungen wird diese Algebra verwendet und als Schaltalgebra bezeichnet. Hier entsprechen 0 und 1 zwei Spannungszuständen in der Schalterfunktion von AUS und AN. Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten jeder möglichen digitalen Schaltung kann durch einen booleschen Ausdruck modelliert werden.

Die zweielementige boolesche Algebra ist auch wichtig für die Theorie allgemeiner boolescher Algebren, da jede Gleichung, in der nur Variablen, 0 und 1 durch ${\land},$ $\lor$ und $\neg$ verknüpft sind, genau dann in einer beliebigen booleschen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist, wenn sie in der zweielementigen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist (was man einfach durchtesten kann). Zum Beispiel gelten die folgenden beiden Aussagen (Konsensusregeln, engl.: Consensus Theorems) über jede boolesche Algebra:

$(a \lor b) \land (\neg a \lor c) \land (b \lor c) = (a \lor b) \land (\neg a \lor c)$

$(a \land b) \lor (\neg a \land c) \lor (b \land c) = (a \land b) \lor (\neg a \land c)$

In der Aussagenlogik nennt man diese Regeln Resolutionsregeln.

Mengenalgebra

Die Potenzmenge P(S) einer Menge S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer booleschen Algebra. Dabei ist 0 die leere Menge und 1=S und die Negation das Komplement; der Sonderfall S=0 ergibt die einelementige Potenzmenge mit 1=0. Auch jeder S enthaltende, bezüglich Vereinigung und Komplement abgeschlossene Teilbereich der Potenzmenge von S ist eine boolesche Algebra, die als Teilmengenverband oder Mengenalgebra bezeichnet wird. Der Darstellungssatz von Stone besagt, dass jede boolesche Algebra isomorph (s.u.) zu einer Mengenalgebra ist. Daraus folgt, dass die Mächtigkeit jeder endlichen booleschen Algebra eine Zweierpotenz ist.

Über die Venn-Diagramme veranschaulicht die Mengenalgebra boolesche Gesetze, beispielsweise Distributiv- und de-Morgansche-Gesetze. Darüber hinaus basiert auf ihrer Form als KV-Diagramm eine bekannte Methode der systematischen Vereinfachung boolescher Ausdrücke in der Schaltalgebra.

Andere Beispiele

Die Menge aller endlichen oder koendlichen Teilmengen von $\mathbb N_0$ bildet mit Durchschnitt und Vereinigung eine boolesche Algebra.

Für jede natürliche Zahl n ist die Menge aller positiven Teiler von n mit den Verknüpfungen ggT und kgV ein distributiver beschränkter Verband. Dabei ist 1 das Nullelement und n das Einselement. Der Verband ist boolesch genau dann, wenn n quadratfrei ist. Dieser Verband heißt Teilerverband von n.

Für jeden topologischen Raum X ist die Menge aller offenen abgeschlossenen Teilmengen eine boolesche Algebra mit Durchschnitt und Vereinigung.

Ist R ein Ring mit Einselement, dann definieren wir die Menge

$A=\{e\in R\mid e^2=e\ \mathrm{und}\ ex=xe\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x\in R\}$

aller idempotenten Elemente des Zentrums. Mit den Verknüpfungen

$e\lor f = e + f - ef,\quad e \land f = ef$

wird A zu einer booleschen Algebra.

Ist H ein Hilbertraum und P(H) die Menge der Orthogonalprojektionen auf H. Definiert man für zwei Orthogonalprojektionen P und Q $P\lor Q = P + Q - nPQ,\quad P \land Q = PQ$, wobei n gleich 1 oder 2 sein soll. In beiden Fällen wird P(H) zu einer booleschen Algebra. Der Fall n=2 ist in der Spektraltheorie von Bedeutung.

Siehe auch Boolesche Funktion.

Homomorphismen

Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren A,B ist ein Verbandshomomorphismus $f\colon A\to B$, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d.h. für alle $x,y\in A$ gilt:

• $f(x\land y)=f(x)\land f(y)$
• $f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)$
• $f(0)=0,\quad f(1)=1$

Es folgt daraus, dass $f(\neg a)=\neg f(a)$ für alle a aus A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie. Ist ein Homomorphismus f zusätzlich bijektiv, dann heißt f Isomorphismus, und A und B heißen isomorph.

Boolesche Ringe

Als boolesche Ringe gelten seit Stone alle Ringe mit Einselement, die zusätzlich idempotent sind, also das Idempotenzgesetz $a\cdot a = a$ erfüllen. Jeder idempotente Ring ist kommutativ. Die Addition im booleschen Ring entspricht bei der mengentheoretischen Interpretation der symmetrischen Differenz und bei aussagenlogischer Interpretation der Alternative ENTWEDER-ODER (exclusiv-ODER, XOR); die Multiplikation entspricht der Durchschnittsbildung beziehungsweise der Konjunktion UND.

Boolesche Ringe sind stets selbstinvers, denn es gilt $\,a+a=0$ und $\,-a=a$, so dass die Inversen-Operation definierbar ist. Wegen dieser Eigenschaft besitzen sie auch, falls 1 und 0 verschieden sind, stets die Charakteristik 2. Der kleinste solche boolesche Ring ist zugleich ein Körper mit folgenden Verknüpfungstafeln:

$\cdot$ 0 1 0 0 0 1 0 1

+ 0 1 0 0 1 1 1 0

Der Potenzreihen-Ring modulo $\,x\cdot x+x$ über diesem Körper ist ebenfalls ein boolescher Ring, denn $\, x\cdot x+x$ wird mit $\, 0$ identifiziert und liefert die Idempotenz. Diese Algebra benützte bereits Žegalkin 1927 als Variante der originalen Algebra von Boole, der den Körper der reellen Zahlen zugrunde legte, welcher noch keinen booleschen Ring ergibt.

Die Kategorien boolescher Ringe und boolescher Algebren sind isomorph. Denn jeder boolesche Ring $(R,{+},{-},{\cdot}, 1, 0)$ wird zu einer booleschen Algebra $(R, {\land}, {\lor}, {\neg}, 1, 0)$ durch folgende Definitionen:

$x\lor y = x + y + xy$

$x\land y = xy$

$\neg x = x+1$

Umgekehrt wird jede boolesche Algebra $(A, {\land}, {\lor}, {\neg}, 1, 0)$ zu einem booleschen Ring $(A,{+},{-},{\cdot}, 1, 0)$ durch folgende Definitionen:

$a + b = (a\land\neg b)\lor(b\land\neg a)$

$\,-a = a$

$a\cdot b = a\land b$

Ferner ist eine Abbildung $f\colon A\to B$ genau dann ein Homomorphismus boolescher Algebren, wenn sie ein Homomorphismus boolescher Ringe ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Schröder: Der Operationskreis des Logikkalkuls. Leipzig 1877.
2. ↑ ^{a b} Giuseppe Peano: Calcolo geometrico. Bocca, Torino 1888. Auszug in: G. Peano: Opere scelte II, Rom 1958, S. 3-19, dort S. 5f das Axiomensystem.
3. ↑ Bertrand Russell: The Theory of Implication. In: American Journal of Mathematics. Baltimore 28.1906, S. 159-202. ISSN 0002-9327

Siehe auch

• Bitweiser Operator
• Boolescher Operator
• Heyting-Algebra
• Logische Verknüpfung
• Logikgatter
• Halbring
• Boolescher Differentialkalkül
• Boolesches Retrieval

Literatur

• Marshall Harvey Stone: The Theory of Representations for Boolean Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. Lancaster 40.1936, S. 37-111. ISSN 0002-9947
• D. A. Vladimirov: Boolesche Algebren. In deutscher Sprache herausgegeben von G. Eisenreich. Berlin 1972.

Weblinks

• J. Donald Monk: The Mathematics of Boolean Algebra, in: Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)