Bramble-Hilbert-Lemma

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion u durch ein Polynom der maximalen Ordnung m − 1 mit Hilfe der Ableitungen m-ter Ordnung von u ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von u werden durch L^p-Normen auf einem beschränkten Gebiet im $\mathbb{R}^n$ gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von u bei linearer Interpolation von u. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von u können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten L^p-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und C¹-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur m-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens m − 1 erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei $\textstyle \Omega$ ein beschränktes Gebiet im $\textstyle \mathbb{R}^{n}$ mit Lipschitz-Rand und Durchmesser $\textstyle d$. Weiter sei $m \in \mathbb{N}$ beliebig und $k \in \{0, \ldots, m\}$.

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem $u \in W_p^k(\Omega)$ ein Polynom p existiert, dessen Grad höchstens m − 1 beträgt, so dass die Ungleichung

$\|u-p\|_{W_p^k(\Omega)} \leq C d^{m-k}\|u\|_{W_p^m(\Omega)}$

mit einer Konstanten C = C(m,Ω) erfüllt ist. Hierbei steht $W_p^k(\Omega)$ für den Sobolew-Raum.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).