Euler-Gleichungen

Die Euler-Gleichungen oder auch eulersche Gleichungen (nach Leonhard Euler) sind ein mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien Fluiden. Es handelt sich um ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, das sich als Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen ergibt, falls die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden.

Herleitung

Die Eulergleichungen können auf verschiedene Weise hergeleitet werden: Ein verbreiteter Ansatz wendet das Transporttheorem von Reynolds auf das zweite newtonsche Axiom an. Das Transporttheorem beschreibt die zeitliche Änderung einer physikalischen Größe in einem bewegten Kontrollvolumen.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Eulergleichungen.

Formulierung

Impulsgleichung

Der wesentliche Teil der Euler-Gleichungen ist der Impulssatz, der unter Vernachlässigung äußerer Kräfte in differentieller Form lautet:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \left( \mathbf{v} \cdot \nabla \right) \mathbf{v} + \frac{1}{\rho} \nabla p = \mathbf{0}$,

wobei $\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$ der Geschwindigkeitsvektor, ρ die Dichte, $p=p(\mathbf{x},t)$ der Druck, $\mathbf{x}$ der Ortsvektor, t die Zeit und $\nabla$ der Nabla-Operator ist. In kartesischen Koordinaten lautet diese Gleichung im zweidimensionalen Fall für $\mathbf{v}=(v_1, v_2)$ und $\mathbf{x}=(x_1, x_2)$ vollständig ausgeschrieben:

$\frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1\frac{\partial v_1}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_1}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_1} = 0$

$\frac{\partial v_2}{\partial t} + v_1\frac{\partial v_2}{\partial x_1} + v_2\frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_2} = 0$.

Die linke Seite beschreibt dabei in beiden Fällen die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung.

Flussformulierung

Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung erhält man aus der Impulsgleichung die Bilanzgleichung der Impulsdichte für die Impulsdichte $\mathbf m = \rho \mathbf v$:

$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \nabla \cdot ( \mathbf {vm} ) + \nabla p = \mathbf{0}$

oder in alternativer Schreibweise

$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \nabla \cdot ( \mathbf {vm} + p \mathbb I ) = \mathbf{0}.$

Hierbei ist $\mathbb I$ der Einheitstensor, $p \mathbb I$ heißt auch Spannungstensor. Der Tensor $\mathbf {vm} = v_i m_j$ ist der konvektive Transport der Impulsdichte, seine Divergenz

$\nabla \cdot \mathbf {vm} = ( \nabla \cdot \mathbf v ) \mathbf m + \mathbf v \cdot ( \nabla \mathbf m )$

ist der konvektive Impulsfluss.

Integriert man über ein ortsfestes Volumen V und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erhält man:

$\int_V \mathbf m \; \mathrm d V + \oint_S ( \mathbf {vm} + p \mathbb I ) \cdot \mathbf n \; \mathrm d S = \mathbf{0}.$

Hierbei ist V das Volumen mit der Oberfläche S und n ist der Normaleneinheitsvektor auf dem Flächenelement dS. Diese Formulierung der Gleichung beweist die Erhaltung des Impulses bei Einführung des statischen Druckes p. Der Druck ist eine Oberflächenkraft und nimmt Einfluss auf den Impuls durch Austausch mit der Umgebung, der Druck ist keine eigene Quelle für Impuls.

Vollständiges Gleichungssystem

Eine ebenfalls übliche Formulierung der Euler-Gleichungen umfasst zusätzlich die skalaren Gleichungen für Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) und Energieerhaltung. Im zweidimensionalen Fall ergeben sich so die vier gekoppelten Differentialgleichungen

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{f}(\mathbf{u}) = \mathbf{0},$

wobei $\mathbf{u} = (\rho, \rho v_1, \rho v_2, \rho E)$ der Vektor der Erhaltungsvariablen ist und der Fluss $\mathbf{f}=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2)$ mit der Enthalpie H durch folgende Ausdrücke gegeben sind:

$\mathbf{f}_1 = \begin{pmatrix}\rho v_1 \\ \rho v_1^2 +p \\ \rho v_1 v_2 \\ \rho v_1 H\end{pmatrix}, \, \mathbf{f}_2 = \begin{pmatrix}\rho v_2 \\ \rho v_1v_2 \\ \rho v_2^2 +p \\ \rho v_2 H\end{pmatrix}.$

Zusammen mit einer Zustandsgleichung erhält man ein geschlossenes Gleichungssystem, um die dann fünf unbekannten Größen Geschwindigkeit v₁ und v₂, Druck p, Dichte ρ und Temperatur T zu berechnen.

Randbedingungen

An festen Wänden wird als Bedingung gesetzt, dass die Geschwindigkeit in Normalenrichtung null ist. An die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit kann dann keine zusätzliche Bedingung gesetzt werden. Dies steht im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen, bei denen die No-Slip-Bedingung und die Terme zweiter Ordnung eine Grenzschicht erzeugen. Gemeinsam mit dem Fehlen von Turbulenz macht dies den wesentlichen Unterschied zwischen den Euler- und den Navier-Stokes-Gleichungen aus.

Mathematische Eigenschaften

Die Eulergleichungen gehören zur Kategorie der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Damit treten in der Regel nach endlicher Zeit auch bei glatten Anfangsdaten Unstetigkeiten auf, etwa Schocks (Verdichtungsstöße). Unter starken Voraussetzungen existieren im relevanten Fall ρ,p > 0 globale glatte Lösungen, etwa dann, wenn die Lösung sich in einer Art Verdünnungswelle fortbewegt. Im stationären Fall ist die Gleichung je nach Mach-Zahl elliptisch oder hyperbolisch. Bei einer transsonischen Strömung treten dann sowohl Unterschall als auch Überschallgebiete auf, und die Gleichung hat gemischten Charakter.

Die Eigenwerte der Gleichungen sind die Geschwindigkeit in Normalenrichtung v_n (mit Vielfachheit der Dimension) und diese plus minus die Schallgeschwindigkeit, $v_n \pm c$. Damit sind die Euler-Gleichungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung als Druckfunktion im eindimensionalen sogar strikt hyperbolisch, so dass es dort brauchbare Existenz- und Eindeutigkeitsresultate gibt. Im mehrdimensionalen sind sie nicht mehr strikt hyperbolisch aufgrund des mehrfachen Eigenwerts und die mathematische Lösung ist extrem schwierig. Hierbei dreht es sich vor allem um das Bestimmen physikalisch sinnvoller schwacher Lösungen, also solcher, die sich als Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Viskosität interpretieren lassen.

Darüber hinaus sind die Euler-Gleichungen rotationsinvariant, es gilt also für beliebige Einheitsvektoren $\mathbf{n}$ und für Rotationen der Geschwindigkeiten in Richtung dieser Normalenvektoren:

$\sum_{l=1}^2\mathbf{f}_l(\mathbf{u})n_l = T^{-1}(\mathbf{n}) \mathbf{f}_1(T(\mathbf{n})\mathbf{u}).$

Darüber hinaus sind die Flussfunktionen homogen, es gilt also $\mathbf{f}_l(\mathbf{u}) = \frac{\partial \mathbf{f}_l(\mathbf{u})}{\partial \mathbf{u}}\mathbf{u}$.

Numerische Lösung

Da die Euler-Gleichungen Erhaltungsgleichungen darstellen, werden sie in der Regel mit Hilfe von Finite-Volumen-Verfahren gelöst. Umgekehrt waren die Bemühungen aus dem Bereich der Aerodynamik seit den 1950ern, die Euler-Gleichungen numerisch zu simulieren, treibende Kräfte bei der Entwicklung von Finite-Volumen-Verfahren. Da im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen keine Grenzschicht berücksichtigt werden muss, kann dies auf vergleichsweise groben Rechengittern passieren. Die zentrale Schwierigkeit stellt die Behandlung des Euler-Flusses dar, der üblicherweise mit Hilfe von approximativen Riemann-Lösern behandelt wird. Diese liefern eine Näherung an die Lösung von Riemann-Problemen entlang von Zellkanten. Das Riemann-Problem der Euler-Gleichungen ist sogar exakt lösbar, allerdings ist die Berechnung dieser Lösung extrem aufwändig. Seit den 1980ern wurden deswegen zahlreiche approximative Löser entwickelt, angefangen mit dem Roe-Löser bis hin zur AUSM-Familie in den 1990ern.

Bei der Zeitintegration ist die CFL-Bedingung zu beachten. Gerade im Bereich von Machzahlen nahe null oder eins werden die Gleichungen aufgrund der unterschiedlich Eigenwertskalen sehr steif, was den Einsatz impliziter Zeitintegrationsverfahren notwendig macht: die CFL-Bedingung orientiert sich am größten Eigenwert ($v_n \pm c$), während die für die Simulation relevanten Teile der Strömung sich mit v_n bewegen. Ein explizites Verfahren bräuchte damit in den meisten Fällen inakzeptabel viele Zeitschritte.

Die Lösung dabei auftretender nichtlinearer Gleichungssysteme erfolgt dann entweder mit Hilfe von vorkonditionierten Newton-Krylow-Verfahren oder mit speziellen nichtlinearen Mehrgitter-Verfahren.

Abgeleitete Beziehungen

Aus den erweiterten Eulergleichungen kann - insbesondere durch geeignete Skalierung - eine Reihe gasdynamischer Grundgleichungen abgeleitet werden:

• die Bernoulligleichung,
• die akustische Wellengleichung,
• die inkompressiblen Eulergleichungen.

Literatur

• G. K. Batchelor: An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2000, ISBN 0-521-66396-2 (Cambridge mathematical library).
• Alexandre Chorin, Jerrold Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd Edition corrected, 3rd printing. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 3-540-97918-2 (Texts in Applied Mathematics 4).
• Landau, L. D. und E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI Hydrodynamik, Akademie Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-05-500070-6.
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1: Incompressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1996, ISBN 0-19-851487-5 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 3).
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2: Compressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1998, ISBN 0-19-851488-3 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 10).
• Edwige Godlewski, Pierra-Arnaud Raviart: Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Ellipses, Paris 1991 (Mathématiques & applications 3/4, ISSN 1154-483X).