ASEP

Der ASEP (kurz für engl. “asymmetric simple exclusion process”; dt.: „asymmetrischer einfacher Ausschluss-Prozess“) ist in der Mathematik bzw. Statistik das Musterbeispiel eines Teilchenhüpfprozesses, bzw. eines getriebenen Nicht-Gleichgewicht-Systems. Dabei springen „Teilchen“ auf einem eindimensionalen Gitter von einem Gitterpunkt zum nächsten.

Regeln

In der ursprünglichen Formulierung erfolgt ein zufällig-sequentieller Update. Die folgenden zwei Schritte werden beliebig oft wiederholt:

1. Wähle zufällig ein Teilchen aus.
2. Dieses Teilchen bewegt sich mit der Wahrscheinlichkeit p_r eine Zelle nach rechts, p_l nach links und bleibt mit der Wahrscheinlichkeit p₀ an seinem Ort. Im Falle einer Bewegung muss der neue Platz jedoch frei sein. Sollten eine oder zwei benachbarte Zellen besetzt sein, werden p_r, p_l und p₀ so normiert, dass wieder p_r + p_l + p₀ = 1 gilt.

Es darf folglich auf jedem Gitterplatz immer nur maximal ein Teilchen vorhanden sein.

Es gibt in der Literatur einige Verwirrung über die genaue Bezeichnung von Systemen mit Einschränkungen. So wird der Spezialfall p_l = 0 bisweilen mit TASEP (“totally asymmetric simple exclusion process”) bezeichnet, manchmal wird jedoch auch hierfür schlicht der Begriff ASEP verwendet. Im letzteren Fall bezeichnet TASEP dann oft den Spezialfall p_l = p₀ = 0 d.h. p_r = 1. Unter Umständen bezeichnet ASEP auch den Fall p₀ = 0, ohne, dass dieser als Spezialfall bezeichnet wird.

Bei Betrachtungen von offenen Systemen werden oft am linken Rand Teilchen mit der Wahrscheinlichkeit α eingefügt und am rechten mit der Wahrscheinlichkeit β aus dem System herausgenommen.

Zusammenhang mit anderen Systemen

Der TASEP mit p_r = 1 unterscheidet sich von Regel 184 der Wolfram-Zellularautomaten - und damit von der einfachsten Version des Nagel-Schreckenberg-Modells - nur durch das zufällige sequentielle Update. Würde man ein paralleles Update wählen, d.h. also nach der Regel „Bewege alle Teilchen auf dem Gitter, deren rechter Gitterplatz frei ist, eine Position nach rechts“ Runde um Runde vorgehen, ergäbe sich also exakt Regel 184. Einziger Unterschied wäre die symmetrische Interpretation weißer und schwarzer Zellen bei Wolfram im Vergleich zur Vorstellung von „Teilchen“ und „leerer Platz“ beim ASEP. Die Dynamik würde sich von Regel 184 jedoch in keiner Weise unterscheiden.

Bei sogenannten “Correlated Random Walks” ist die Asymmetrie in der Bewegung nicht an eine feste Richtung geknüpft, sondern an die Richtung des letzten Schrittes. Meist wird in solchen Systemen eine Tendenz zum Erhalt der Bewegungsrichtung angenommen. Ein Teilchen, das zuletzt nach rechts bewegt wurde, wird auch im nächsten Schritt mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0.5 nach rechts bewegt werden.

In einem bestimmten hydrodynamischen Grenzfall erfüllt der ASEP die Burgersgleichung.

Geschichte und Analyse

Der ASEP wurde 1970 von Frank Spitzer zum ersten Mal formuliert. Joachim Krug entdeckte 1991 Phasenübergänge im ASEP, die von der Rate des Einsetzens (am linken Rand) und Herausnehmens (am rechten Rand) der Teilchen abhängen. Bernard Derrida fand 1993 eine exakte Lösung für den ASEP.

Bedeutung

Der ASEP ist zu einfach, um irgendein reales System realistisch zu simulieren. Seine Bedeutung liegt darin, dass er zum einen als Abstraktion bzw. Vereinfachung einer Reihe realitätsnaher Simulationsmodelle betrachtet werden kann und dass er zum anderen - im Gegensatz zu den meisten realitätsnahen Simulationsmodellen - analytischen Untersuchungsmethoden zugänglich ist. Diese realitätsnahen mit ASEP verwandten Modelle existieren in sehr unterschiedlichen Gebieten wie der Fortbewegung von Ameisen, der Biopolymerisation, der Fußgängerdynamik, molekularen Motoren, dem Wachstum von Oberflächen, der Proteinsynthese und dem Straßenverkehr. Für bestimmte Simulationsansätze in diesen und anderen Bereichen erfüllt der ASEP daher die Funktion einer Drosophila.

Literatur

• F. Spitzer: Interaction of Markov processes. Adv. Math. 5:246 (1970)
• J. Krug: Boundary-induced phase transitions in driven diffusive systems. Phys. Rev. Lett. 67, 1882 (1991). DOI:10.1103/PhysRevLett.67.1882
• B. Derrida: An exactly soluble non-equilibrium system: the asymmetric simple exclusion process. Phys. Rep., 301, 65-83 (1998). DOI: 10.1016/S0370-1573(98)00006-4

Weblinks

• Suche nach Veröffentlichungen zum ASEP bei arXiv.org
• Suche nach Veröffentlichungen zum ASEP bei Google Scholar