Kanonische Vertauschungsrelation

Die in der Quantenmechanik (QM) gebräuchlichen kanonischen Vertauschungsrelationen lauten:

$[X_i,X_j]= 0,\quad [P_i,P_j]= 0, \quad [X_i,P_j] = i\hslash\delta_{i,j} \quad i,j \in \{1,...,3n\}$

Hierbei bezeichnen die X die (hermiteschen) Ortsoperatoren und die P die (hermiteschen) Impulsoperatoren aus der QM, die Klammer um die Operatoren, z. B. [X_i,X_j], den sogenannten Kommutator. Bei den Orts- und Impulsoperatoren „vertauschen“ diese paarweise, d. h. ihr Kommutator ist gleich Null.

Dies heißt aber nichts anderes in der Praxis, als das diese Messgrößen (in der QM auch Observable genannt) gleichzeitig gemessen werden können. Verschwindet der Kommutator nicht, ist also ungleich Null, so „vertauschen“ diese Operatoren nicht.

Die Operatoren für Ort und Impuls stellen also ein Beispiel für nicht vertauschbare Operatoren dar und beschreiben hiermit Größen in demselben Quantensystem, die nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden können, ihre gleichzeitige Messung ist also mit einer gewissen Unschärfe behaftet. Dies führt direkt auf die berühmte Unschärferelation von Werner Heisenberg.

Herleitung und Begründung

Da das Produkt (d. h. die Hintereinanderausführung) zweier linearer Operatoren im allgemeinen nicht kommutativ (d. h. die Reihenfolge der Hintereinanderausführung nicht einfach vertauscht werden kann) ist, wird der Kommutator (oder auch Vertauschungsrelation) zweier linearen Operatoren A und B wie folgt definiert:

[A,B] = AB − BA

Setzen wir die Operatoren für Ort und Impuls einfach in obige Gleichung ein und lassen diese auf eine Wellenfunktion ψ(x) wirken, so folgt:

$[x, p_x] \psi (x) = (x (-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})) \psi (x) - ((-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}) x) \psi (x) = (-i\hbar x \frac{\partial}{\partial x} + (i\hbar(1 + x \frac{\partial}{\partial x})) \psi (x) = i\hbar \psi (x)$

Die obige Rechnung für die Raumkomponenten y,p_y und z,p_z führen zum gleichen Ergebnis. Interessant hierbei ist, das z. B.

$[x, p_y] \psi (x) = (x (-i\hbar\frac{\partial}{\partial y})) \psi (x) - ((-i\hbar\frac{\partial}{\partial y}) x) \psi (x) = (-i\hbar x \frac{\partial}{\partial y}) \psi (x) + (i\hbar \frac{\partial}{\partial y})(x\psi (x))$

$= (-i\hbar x \frac{\partial}{\partial y} + i\hbar x \frac{\partial}{\partial y}) \psi (x) = 0$

vertauscht. Der Beweis, dass Orts- und Impulskomponenten untereinander vertauschen, ist einfach. Insgesamt ergeben sich dann die oben benannten kanonischen Vertauschungsrelationen.

Anmerkung:

Im Allgemeinen werden die Operatoren in der QM mit einem „Hütchen“ versehen, dies wird hier aus Gründen der Lesbarkeit weggelassen, es gilt also z. B. für den Ortsoperator $\hat x = x$

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Band 5/1: Quantenmechanik Grundlagen. Springer Verlag, 2009.
• G. Blatter: Quantenmechanik I. Script zur Vorlesung, ETH-Zürich, 2005.