club-Menge

Als club-Menge wird in der Mengenlehre eine Teilmenge einer Limesordinalzahl bezeichnet, die die Eigenschaften der Abgeschlossenheit und der Unbeschränktheit (engl. closed und unbounded) besitzt.

Definition

Sei λ eine Limesordinalzahl. Eine Teilmenge $x\subseteq\lambda$ heißt

• abgeschlossen, wenn für jede Folge $\langle\alpha_\xi \in x \mid\xi\in\mu\rangle$ aus x gilt:

  $\lim_{\xi\to\mu}\alpha_\xi=\delta\in\lambda\Rightarrow\delta\in x,$

• unbeschränkt, wenn für alle $\alpha\in\lambda$ ein $\beta\in x$ existiert mit $\beta\geq\alpha$.

x heißt club-Menge, falls x sowohl abgeschlossen als auch unbeschränkt ist.

Beispiele

Für λ = ω ist der Begriff der Abgeschlossenheit leer, weil es keine Limesordinalzahlen unter ω gibt; club-Mengen von ω sind also lediglich unbeschränkte, d.h. unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen.

Fasst man λ und die Klasse der Ordinalzahlen $\operatorname{Ord}$ mittels der Ordnungstopologie als topologische Räume auf, so ist das Bild jeder stetigen monoton steigenden Funktion $f\colon \lambda\to\operatorname{Ord}$ eine club-Menge.

Der club-Filter

Ist die Konfinalität der Limeskardinalzahl λ überabzählbar, $\operatorname{cf}\lambda>\omega$, so ist der Schnitt zweier club-Mengen wieder eine club-Menge. Setzt man $\mathcal{C}_\lambda=\{x\subseteq\lambda\mid\exists C\subseteq x \ C\text{ club}\}$, so bildet $\mathcal{C_\lambda}$ also einen Filter, den club-Filter. Er hat unter anderem folgende Eigenschaften:

• $\mathcal{C}_\lambda$ ist $\operatorname{cf}\lambda$-vollständig: Ist $\gamma\in\operatorname{cf}\lambda$ und $C_\alpha\in\mathcal{C}_\lambda$ für $\alpha\in\gamma$, so gilt

  $\textstyle\bigcap\limits_{\alpha\in\gamma} C_\alpha\in\mathcal{C}_\lambda.$

• Ist λ eine reguläre Kardinalzahl, so ist $\mathcal{C}_\lambda$ abgeschlossen gegenüber sogenannten diagonalen Schnitten: Ist $\langle C_\alpha\mid\alpha\in\lambda\rangle$ eine Familie von club-Mengen aus $\mathcal{C}_\lambda$, so ist

  $\textstyle\bigtriangleup_{\alpha\in\lambda}C_\alpha:=\lbrace\beta\in\lambda\mid\beta\in\bigcap_{\alpha\in\beta}C_\alpha\rbrace\in\mathcal{C}_\lambda.$

Das zu $\mathcal{C}_\lambda$ duale Ideal, definiert durch $\mathcal{I}_\lambda=\{D\subseteq\lambda\mid\lambda\setminus D\in\mathcal{C}_\lambda\}$, wird als Ideal der dünnen Teilmengen bezeichnet.

Eine Menge $S\subseteq\lambda$ heißt stationär, falls sie nicht dünn ist, also $S\notin\mathcal{I}_\lambda$ gilt. Eine Menge ist genau dann stationär, wenn ihr Schnitt mit jeder club-Menge nicht leer ist.

Siehe auch

• Satz von Fodor
• Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.