Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Reflexionsprinzip (Mengenlehre)

Das Reflexionsprinzip ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Mengenlehre. Die Kernaussage lautet, dass es keinen in der Sprache der Mengenlehre formulierbaren Satz über das Mengenuniversum gibt, der nicht bereits in einer geeigneten Menge „gespiegelt“ (siehe unten) würde, woraus sich der Name Reflexionsprinzip erklärt. Der Satz geht auf Richard Montague (1957) und Azriel Levy (1960) zurück.

Inhaltsverzeichnis

Formulierung

Wir betrachten die Stufen Vα der Von-Neumann-Hierarchie. Ist φ eine Formel der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das heißt eine aus Variablen für Mengen und den Symbolen \in, =, \neg, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \exists, \forall korrekt aufgebaute Aussage, so sagt man Vα spiegele φ, wenn das durch x\in V_\alpha definierte Prädikat die Aussage φ spiegelt, diese Begriffe sind im Artikel Relativierung (Mengenlehre) erklärt.

Es gilt nun das sogenannte

Reflexionsprinzip[1][2]
Ist φ eine mengentheoretische Formel, so gibt es eine Ordinalzahl α, so dass φ von Vα gespiegelt wird.

In einprägsamer Kurzform lautet das Reflexionsprinzip: Zu jedem Satz gibt es bereits eine Menge, die ihn spiegelt. Diese Menge kann als Stufe Vα der von-Neumann-Hierarchie gewählt werden. Man kann zeigen, dass man α als Limes-Ordinalzahl wählen kann. Es gilt sogar die für den Beweis wesentliche Verschärfung, dass die Klasse aller Ordinalzahlen α, so dass φ von Vα gespiegelt wird, beliebig große club-Mengen enthält.

Bedeutung

  • Jeder im Mengenuniversum wahre Satz ist bereits in einer Menge Vα wahr. Es gibt also keinen in der mengentheoretischen Sprache formulierbaren Satz, der das Mengenuniversum von allen Mengen unterscheidet. Ebbinghaus schreibt daher in seinem unten zitierten Lehrbuch, dass das Mengenuniversum in diesem Sinne „unbeschreiblich groß“ sei.
  • Erhebt man das Reflexionsprinzip zu einem Axiom, so kann man auf viele der Axiome der Zermelo-Frankel-Mengenlehre verzichten und so zu einem anderen Axiomensystem, dem sogenannten Scottschen Axiomensystem, benannt nach Dana Scott, gelangen.
  • Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist nicht endlich axiomatisierbar. (Man beachte, dass das Ersetzungsaxiom kein einzelnes Axiom, sondern ein sogenanntes Schema von unendlich vielen Axiomen ist.) Eine endliche Menge von Axiomen könnte mittels \land zu einer Aussage verknüpft werden, und diese würde bereits durch eine Menge gespiegelt, das heißt man könnte in ZF die Existenz eines Modells für ZF zeigen, was ein Widerspruch wäre[3].

Verstärkung

Das Reflexionsprinzip gilt auch für Verallgemeinerungen der von-Neumann-Hierarchie. Ist W eine beliebige Klasse und \langle W_\alpha\mid\alpha\in Ord\rangle eine Folge von Mengen mit

so gibt es für jede Formel φ ein \alpha\in Ord, sodass \varphi^W\leftrightarrow\varphi^{W_\alpha} gilt. Die Verstärkung ist unter anderem auf die konstruktible Hierarchie Lα anwendbar, und kann verwendet werden um nachzuweisen, dass in L das Aussonderungsaxiom gilt.

Einzelnachweise

  1. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, 2.1
  2. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.14
  3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Bemerkungen zu Theorem 12.14

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