Konfinalität

Konfinalität

Die Konfinalität (auch: Kofinalität) bezeichnet in der Mengenlehre eine Eigenschaft von Ordinalzahlen. Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei λ eine Limesordinalzahl und X\subset\lambda. Die Menge X heißt konfinal (kofinal) in λ, falls zu jedem η < λ ein \theta \in X mit η < θ existiert.

Die Konfinalität einer Limesordinalzahl λ wird mit cf(λ) bezeichnet und ist definiert als die kleinste Ordinalzahl α, für welche eine Funktion

 \mbox{f}:\alpha \to \lambda

existiert, so dass das Bild f[α] konfinal in λ ist.

Falls cf(λ) < λ, so heißt λ singulär. Falls cf(λ) = λ, so heißt λ regulär.

Eigenschaften

  • Die Konfinalität ist immer eine Kardinalzahl.
  • Es gilt cf(cf(λ)) = cf(λ), das heißt cf(λ) ist regulär.
  • Die Konfinalität liegt zwischen ω und λ, also: \omega \leq \mbox{cf}(\lambda) \leq \lambda.
  • Besitzt eine unendliche Menge K reguläre Kardinalität κ, so benötigt man mindestens κ-viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als κ, um K als Vereinigung von Mengen darzustellen.

Beispiele

  • ω ist regulär. Es gilt cf(ω) = ω.
  • Die Kardinalzahl \aleph_\omega ist singulär, zur Bezeichnung siehe Aleph-Funktion. Es gilt \mbox{cf}(\aleph_\omega) = \omega.
  • Ist α eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist \aleph_\alpha stets regulär. Die Frage, ob es neben ω weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der großen Kardinalzahlaxiome, d. h. der Axiome über große Kardinalzahlen.

Literatur

  • Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker, Vieweg-Verlag, 1985
  • Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2

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