Konfinalität

Die Konfinalität (auch: Kofinalität) bezeichnet in der Mengenlehre eine Eigenschaft von Ordinalzahlen. Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definition

Sei λ eine Limesordinalzahl und $X\subset\lambda$. Die Menge X heißt konfinal (kofinal) in λ, falls zu jedem η < λ ein $\theta \in X$ mit η < θ existiert.

Die Konfinalität einer Limesordinalzahl λ wird mit cf(λ) bezeichnet und ist definiert als die kleinste Ordinalzahl α, für welche eine Funktion

$\mbox{f}:\alpha \to \lambda$

existiert, so dass das Bild f[α] konfinal in λ ist.

Falls cf(λ) < λ, so heißt λ singulär. Falls cf(λ) = λ, so heißt λ regulär.

Eigenschaften

• Die Konfinalität ist immer eine Kardinalzahl.
• Es gilt cf(cf(λ)) = cf(λ), das heißt cf(λ) ist regulär.
• Die Konfinalität liegt zwischen ω und λ, also: $\omega \leq \mbox{cf}(\lambda) \leq \lambda$.
• Besitzt eine unendliche Menge K reguläre Kardinalität κ, so benötigt man mindestens κ-viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als κ, um K als Vereinigung von Mengen darzustellen.

Beispiele

• ω ist regulär. Es gilt cf(ω) = ω.
• Die Kardinalzahl $\aleph_\omega$ ist singulär, zur Bezeichnung siehe Aleph-Funktion. Es gilt $\mbox{cf}(\aleph_\omega) = \omega$.
• Ist α eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist $\aleph_\alpha$ stets regulär. Die Frage, ob es neben ω weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der großen Kardinalzahlaxiome, d. h. der Axiome über große Kardinalzahlen.

Literatur

• Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker, Vieweg-Verlag, 1985
• Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2