Cuntz-Algebra

In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren $\mathcal{O}_n$ (nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.

Definition

Sei H ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl $n \geq 2$ seien $S_1,\dots,S_n \in\mathcal{L}(H)$ Isometrien auf H, d.h. es gilt $S_i^*S_i$ für $1\leq i\leq n$. Zudem sollen sie die Eigenschaft

$\sum_{i=1}^n S_iS_i^* = 1$

erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall $n=\infty$ fordert man eine Folge von Isometrien $S_1,S_2,S_3,\dots\quad$ mit der Eigenschaft

$\sum_{i=1}^k S_iS_i^* \leq 1\quad$ für alle $k\in\mathbb{N}.$

Man definiert nun

$\mathcal{O}_n = C^*(S_1,\dots,S_n)$

als die von $S_1,\dots,S_n$ erzeugte C*-Unteralgebra in $\mathcal{L}(H)$. Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall $n=\infty$ bei.

Eigenschaften

Die Cuntz-Algebra $\mathcal{O}_n$ hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.

Eindeutigkeit

Sind $\tilde{S}_1,\dots,\tilde{S}_n\in\mathcal{L}(H)$ weitere Isometrien mit $\sum_{i=1}^n \tilde{S}_i\tilde{S}_i^* = 1$, so folgt

$C^*(S_1,\dots,S_n) \simeq C^*(\tilde{S}_1,\dots,\tilde{S}_n).$

Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise $\mathcal{O}_n$, die nicht auf die Erzeuger $S_1,\dots,S_n$ zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.

Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von $\mathcal{O}_n$ spielt die C*-Unteralgebra $\mathcal{F}^n$, die von Elementen der Form $S_{i_1}S_{i_2}\dots S_{i_k}S_{j_k}^* S_{j_{k-1}}^*\dots S_{j_1}^*$ mit $k\in\mathbb{N}, 1 \leq i_l, j_l \leq n$ erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl $n^\infty$ isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel V = S₁ und schreibt $V^{-1} = S_1^*$, so existieren Abbildungen $F_i: \mathcal{O}_n \to \mathcal{F}^n$, sodass jedes $A\in\mathcal{O}_n$ dargestellt werden kann als

$A = \sum_{i=-\infty}^{-1} V^iF_i(A) + F_0(A) + \sum_{i=1}^\infty F_i(A)V^i$.

Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese F_i(A) analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von $S_1,\dots,S_n,S_1^*,\dots,S_n^*$ nur eine C*- Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.

Einfachheit

Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt. $\mathcal{O}_n$ ist sogar im algebraischen Sinne einfach.

Satz: Sei $0\neq X\in\mathcal{O}_n$. Dann existieren $A,B\in\mathcal{O}_n$ mit AXB = 1.

Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.

Satz: Sei $\mathcal{A}$ eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von $\mathcal{A}$, die isomorph zu $\mathcal{O}_\infty$ ist. Für endliche $n\geq 2$ existiert eine C*-Unteralgebra $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$, die ein Ideal $\mathcal{J}$ enthält, sodass $\mathcal{O}_n \simeq \mathcal{B}/\mathcal{J}$.

Klassifikation

Es sei $\mathcal{O}_2 = C^*(S_1,S_2)$ wie oben. Definiert man $\hat{S}_1 = S_1^2, \hat{S}_2 = S_1S_2, \hat{S}_3 = S_2$, so sind $\hat{S}_1,\hat{S}_2,\hat{S}_3$ ebenfalls Isometrien mit $\hat{S}_1\hat{S}_1^*+\hat{S}_2\hat{S}_2^*+\hat{S}_3\hat{S}_3^* = 1$ und es gilt offensichtlich $C^*(\hat{S}_1,\hat{S}_2,\hat{S}_3) \subset C^*(S_1,S_2)$.

Man erhält auf diese Weise die unitalen Inklusionen

$\mathcal{O}_\infty \subset \mathcal{O}_n \subset \mathcal{O}_2$.

Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass $\mathcal{O}_n$ und $\mathcal{O}_m$ nicht isomorph sind, falls $n\neq m$. Falls n endlich ist, so berechnet sich die K₀-Gruppe von $\mathcal{O}_n$ zu $\mathbb{Z}_{n-1}$. Für den Fall $n=\infty$ ergibt sich $K_0=\mathbb{Z}$. Da die K₀-Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt die Behauptung.

Darstellung als verschränktes Produkt

Auf $\mathcal{F}^n$ existiert ein *-Automorphismus Φ, sodass $\mathcal{O}_n \simeq \mathcal{F}^n \rtimes_\Phi \mathbb{Z}$. Da $\mathcal{F}^n$ als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als verschränktes Produkt, dass auch $\mathcal{O}_n$ nuklear ist.

Literatur

• Joachim Cuntz: Simple C*-algebras generated by isometries, Comm. Math. Phys. 57, 173-185 (1977).
• K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1