- Cuntz-Algebra
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In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz-Algebren
(nach Joachim Cuntz) eine spezielle Klasse von C*-Algebren, die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei H ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum. Für eine natürliche Zahl
seien
Isometrien auf H, d.h. es gilt
für
. Zudem sollen sie die Eigenschaft
erfüllen, die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal. Für den Fall
fordert man eine Folge von Isometrien
mit der Eigenschaft
für alle
Man definiert nun
als die von
erzeugte C*-Unteralgebra in
. Um eine einheitliche Notation zu wahren, behält man diese Schreibweise auch im Fall
bei.
Eigenschaften
Die Cuntz-Algebra
hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften, sie ist ein Beispiel für eine separable, unitale und einfache C*-Algebra.
Eindeutigkeit
Sind
weitere Isometrien mit
, so folgt
Die Isomorphieklasse hängt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab. Die Schreibweise
, die nicht auf die Erzeuger
zurückgreift, wird damit gerechtfertigt.
Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von
spielt die C*-Unteralgebra
, die von Elementen der Form
mit
erzeugt wird. Man kann zeigen, dass diese zur UHF-Algebra zur übernatürlichen Zahl
isomorph ist. Setzt man einen Erzeuger fest, zum Beispiel V = S1 und schreibt
, so existieren Abbildungen
, sodass jedes
dargestellt werden kann als
.
Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es, diese Fi(A) analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten. Dadurch ist es möglich zu zeigen, dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von
nur eine C*- Norm existieren kann, womit die Behauptung gezeigt ist.
Einfachheit
Eine C*-Algebra heißt einfach, falls sie keine nicht-trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt.
ist sogar im algebraischen Sinne einfach.
Satz: Sei
. Dann existieren
mit AXB = 1.
Außerdem sind Cuntz-Algebren in folgendem Sinne mit einfachen, unitalen, unendlichen C*-Algebren verwandt.
Satz: Sei
eine einfache, unendliche, unitale C*-Algebra. Dann existiert eine C*-Unteralgebra von
, die isomorph zu
ist. Für endliche
existiert eine C*-Unteralgebra
, die ein Ideal
enthält, sodass
.
Klassifikation
Es sei
wie oben. Definiert man
, so sind
ebenfalls Isometrien mit
und es gilt offensichtlich
.
Man erhält auf diese Weise die unitalen Inklusionen
.
Mit K-theoretischen Methoden zeigt man, dass
und
nicht isomorph sind, falls
. Falls n endlich ist, so berechnet sich die K0-Gruppe von
zu
. Für den Fall
ergibt sich
. Da die K0-Gruppe eine Isomorphie-Invariante ist, folgt die Behauptung.
Darstellung als verschränktes Produkt
Auf
existiert ein *-Automorphismus Φ, sodass
. Da
als eine UHF-Algebra nuklear ist, folgt aus dieser Darstellung als verschränktes Produkt, dass auch
nuklear ist.
Literatur
- Joachim Cuntz: Simple C*-algebras generated by isometries, Comm. Math. Phys. 57, 173-185 (1977).
- K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1
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