C*-dynamisches System

C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

Definition

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel (A,G,α) bestehend aus einer C*-Algebra A, einer lokalkompakten Gruppe G und einem Homomorphismus $\alpha:G\rightarrow \mathrm{Aut}(A), s\mapsto \alpha_s$ von G in die Gruppe der Automorphismen von A, so dass alle Abbildungen $G\rightarrow A, s\mapsto \alpha_s(a),\, a\in A$ stetig sind.^[1]

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist $G=\Z$. Da die Gruppe $\Z$ diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist α bereits durch $\alpha_1 \in \mathrm{Aut}(A)$ festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe $\Z$ ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Kovariante Darstellungen

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist (A,G,α) ein C*-dynamisches System und sind $\pi:A\rightarrow B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von A und $u:G\rightarrow B(H), s\mapsto u_s$ eine unitäre Darstellung von G auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar (π,u) eine kovariante Darstellung, falls

$\pi(\alpha_s(a)) = u_s\pi(a)u_s^*$ für alle $a\in A$ und $s\in G$.

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch α vermittelte Gruppenoperation von G auf A durch unitäre Operatoren dargestellt.^[2]

Das verschränkte Produkt

Ist (A,G,α) ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum K(A,G,α) der stetigen Funktionen $G\rightarrow A$ mit kompaktem Träger für $x,y\in K(A,G,\alpha)$ und $\beta \in \C$:

• $(\beta x)(t) \,:=\, \beta x(t)$
• $(x+y)(t) \,:=\, x(t) + y(t)$
• $(x\star y)(t) \,:=\, \int_G x(s)\alpha_s(y(s^{-1}t)) \,\mathrm{d}\mu(s)$
• $(x^*)(t) \,:=\, \Delta(t)^{-1}\alpha_t(x(t^{-1})^*)$
• $\|x\|_1 \,:=\, \int_G \|x(s)\| \, \mathrm{d}\mu(s)$

Dabei ist $t\in G$, μ ein links-Haarsches Maß auf G und Δ die modulare Funktion von G. Man rechnet nach, dass K(A,G,α) durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von α abhängige Produkt $\star$ nennt man verschränktes Produkt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit L¹(A,G,α) bezeichnet wird.^[3]

Ist (π,u) eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems (A,G,α) auf einem Hilbertraum H, so wird durch

$(\pi\times u)(x) := \int_G \pi(x(t))u_t\,\mathrm{d}\mu(t), \quad x\in L^1(A,G,\alpha)$

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von L¹(A,G,α) definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von L¹(A,G,α) gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen L¹-Algebra.^[4]

Die einhüllende C*-Algebra von L¹(A,G,α) wird mit C ^* (A,G,α) oder $A \ltimes_\alpha G$ bezeichnet und heißt das verschränkte Produkt des C*-dynamischen Systems.^[5]. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von $A \ltimes_\alpha G$ und umgekehrt.

Ist speziell $A=\C$, so operiert jede lokalkompakte Gruppe G trivial auf C, das heißt $\alpha_s = \mathrm{id}_{\C}$ für alle $s\in G$, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra C ^* (G). Die Konstruktion des verschränkten Produktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Das reduzierte verschränkte Produkt

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme (A,G,α) linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von A eine solche.

Ist $\pi:A\rightarrow B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von A, so konstruiert man eine kovariante Darstellung $(\tilde{\pi}, \lambda)$ auf dem Hilbertraum L²(G,H) aller messbaren Funktionen $\xi:G\rightarrow H$ mit $\int_G\|\xi(t)\|^2\,\mathrm{d}\mu(s) < \infty$ durch folgende Formeln:

• $(\tilde{\pi}(a)\xi)(t) \, = \, \pi(\alpha_{t^{-1}}(a))(\xi(t))$
• $(\lambda_s\xi)(t) \, = \, \xi(s^{-1}t)$

wobei $a\in A$, $s,t\in G$ und $\xi \in L^2(G,H)$. Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell $\pi_u:A\rightarrow H_u$ die universelle Darstellung von A, so heißt der Normabschluss von $(\tilde{\pi_u}\times \lambda)(L^1(A,G,\alpha))$ in B(L²(G,H_u)) das reduzierte verschränkte Produkt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit $C_r^*(A,G,\alpha)$ oder $A \ltimes_{\alpha r} G$ bezeichnet.^[6]

Betrachtet man wieder den Spezialfall $A = \C$ mit der trivialen Operation der Gruppe G, so liefert die Konstruktion des reduzierten verschränkten Produktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung $(\tilde{\pi},\lambda)$ zu einer *-Darstellung des verschränkten Produktes $A \ltimes_\alpha G$ führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus $A \ltimes_\alpha G \rightarrow A \ltimes_{\alpha r} G$, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz^[7]:

• Ist (A,G,α) ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe G, so ist die linksreguläre Darstellung $A \ltimes_\alpha G \rightarrow A \ltimes_{\alpha r} G$ ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall $\Z$) muss man also nicht zwischen $A \ltimes_{\alpha} G$ und $A \ltimes_{\alpha r} G$ unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe $\Z$ auf einem kompakten Hausdorffraum X. Genauer ist ein Homöomorphismus $\sigma:X\rightarrow X$ gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation $\Z\times X \rightarrow X, (n,x)\mapsto \sigma^n(x)$. σ definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra C(X) der stetigen Funktionen $X\rightarrow \C$, der $f\in C(X)$ auf $f\circ \sigma^{-1}$ abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System $(C(X), \Z, \alpha)$ vor, wobei $\alpha_n(f) = f\circ \sigma^{-n}$. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System (X,σ) und der C*-Algebra $C(X)\ltimes_\alpha \Z$ aufgestellt werden.^[8] Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

Einzelnachweise

1. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.1
2. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.8
3. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.1
4. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.6.4
5. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.5
6. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.7.4
7. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.7.7
8. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Kapitel VIII.3