Nukleare C*-Algebra

Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Definition

Sind A und B zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ bekanntlich auf mehrere Arten eine C*-Norm definieren, das heißt eine Norm α, so dass

• $(A\odot B,\alpha)$ ist eine normierte Algebra
• $\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2$ für alle $s\in A\odot B$

Eine C*-Algebra A heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra B genau eine solche C*-Norm auf $A\odot B$ gibt.

Da es auf $A\odot B$ stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra A, dass für jede C*-Algebra B die minimale und maximale C*-Norm auf $A\odot B$ zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T^[1], die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele

• Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen^[2].

• Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

• Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endlich direkte Summen von Matrix-Algebren M_n und es ist $M_n \otimes B \cong M_n(B)$ für jede C*-Algebra B mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf M_n(B).

• Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra $C_r^*(G)$ einer zusammenhängenden oder mittelbaren Gruppe G ist nuklear. Für diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist $C_r^*(G)$ genau dann nuklear, wenn G mittelbar ist.^[3]

• $C^*(F_2), C_r^*(F_2)$ und $L(\ell^2)$ sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei F₂ die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und $\ell^2$ der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften

• Abgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

• Ist umgekehrt $0\rightarrow J \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen J und B, so ist auch A nuklear.^[4]

• Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.^[5]

• Induktives Limiten von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle AF-C*-Algebren nuklear^[6].

• Ist (A,G,α) ein C*-dynamisches System mit einer nuklearen C*-Algebra A und einer mittelbaren Gruppe G, so ist auch das verschränkte Produkt $A \ltimes_\alpha G$ nuklear^[7]. Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear.

• Eine von-Neumann-Algebra heißt hyperfinit, wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre einhüllende von-Neumann-Algebra hyperfinit ist. Siehe ^{[8] [9]} für weitere äquivalente Charakterisierungen.

Einzelnachweise

1. ↑ M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111-122
2. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Lemma 11.3.5
3. ↑ C. Lance: On Nuclear C*-Algebras, Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157-176, Theorem 4.2
4. ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.5.3
5. ↑ B. Blackadar: Nonnuclear subalgebras of C*-algebras, Journal of Operator Theory, Band 14 (1985), Seiten 347-350
6. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Satz 11.3.12
7. ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.2
8. ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8
9. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 8.15.15