UHF-Algebra

UHF-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von C*-Algebren, die nach ihrem Entdecker James Glimm auch Glimm-Algebren genannt werden. Die UHF-Algebren sind einfach, das heißt, sie besitzen außer 0 und sich selbst keine zweiseitigen Ideale, und sie können zur Konstruktion bestimmter von-Neumann-Algebren herangezogen werden.

Konstruktion

Es bezeichne M_n die C*-Algebra der komplexen $n\times n$-Matrizen. Ist n ein Teiler von m, so sei $\iota:M_n\rightarrow M_m$ derjenige *-Homomorphismus, der eine Matrix aus M_n auf diejenige $m\times m$-Matrix abbildet, die aus m / n Kopien der Ausgangsmatrix längs der Diagonalen besteht, zum Beispiel

$M_2 \rightarrow M_6, \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ x_{21} & x_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{11} & x_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{21} & x_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_{11} & x_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$.

Dieser *-Homomorphismus ist injektiv und bildet das Einselement auf das Einselement ab. Da injektive *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren automatisch isometrisch sind, kann man M_n in diesem Sinne als Unterlagebra von M_m auffassen, und statt ι schreiben wir einfach $M_n\subset M_m$.

Ist nun $\vec n = (n_k)_{k\in \N}$ eine Folge natürlicher Zahlen $\ge 2$, so erhält man eine Kette von Inklusionen:

$M_{n_1} \subset M_{n_1 \cdot n_2} \subset M_{n_1 \cdot n_2 \cdot n_3} \subset \ldots$.

Auf der Vereinigung $\bigcup_{k=1}^\infty M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}$ gibt es dann eine eindeutige Norm, die jede der C*-Normen von $M_{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}$ fortsetzt, und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist daher eine C*-Algebra, die man UHF-Algebra oder Glimm-Algebra vom Rang $\vec n$ nennt. ^[1]

Eigenschaften

Isomorphien

Die UHF-Algebren hängen natürlich von der definierenden Folge $\vec n = (n_k)_{k\in \N}$ ab. Zu jeder Primzahl p sei $\delta_{\vec n}(p)\in \N\cup \{\infty\}$ das Supremum aller $n\in \N$, so dass pⁿ ein Teiler von $n_1 \cdot \ldots \cdot n_k$, wobei k gegen Unendlich läuft. Dadurch wird der definierenden Folge $\vec n$ die Folge $\delta_{\vec n}=(\delta_{\vec n}(p))_p$ zugeordnet, die man in Analogie zur Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen auch als $\prod_p p^{\delta_{\vec n}(p)}$ schreibt und eine übernatürliche Zahl nennt, was freilich nur rein symbolisch zu verstehen ist; p durchläuft hierbei alle Primzahlen. Es gilt ^[2]

• Zwei UHF-Algebren vom Rang $\vec n$ bzw. $\vec m$ sind genau dann isomorph, wenn die zugeordneten übernatürlichen Zahlen gleich sind, das heißt falls $\delta_{\vec n}(p) = \delta_{\vec m}(p)$ für alle Primzahlen p.

Dieser Satz findet sich bereits in ^[3]. Insbesondere gibt es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorphe UHF-Algebren.

UHF-Algebren als AF-Algebren

Nach oben angegebener Konstruktion sind UHF-Algebren spezielle AF-Algebren; letztere sind allerdings erst später eingeführt worden. Ist $\vec n = (n_k)_{k\in \N}$ der Rang der UHF-Algebra, so ist das zugehörige Bratteli-Diagramm gegeben durch

$\begin{matrix} & \rightrightarrows & & \rightrightarrows & & \rightrightarrows &\\ n_1& \vdots & n_1\cdot n_2 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3 & \vdots & n_1\cdot n_2\cdot n_3\cdot n_4\ldots \\ & \underbrace{\rightarrow}_{n_2\, mal} & & \underbrace{\rightarrow}_{n_3\, mal} && \underbrace{\rightarrow}_{n_4\, mal} \end{matrix}$.

Man liest unmittelbar ab, dass alle UHF-Algebren einfach sind, was sich aber auch ohne die Verwendung der Bratteli-Diagramme zeigen lässt. Als AF-Algebren werden UHF-Algebren auch durch ihre geordnete, skalierte K₀-Gruppe klassifiziert, diese ist isomorph zu^[4]

$\{\frac{a}{b};\, a,b\in \Z, b\neq 0, b|n_1 \cdot\ldots\cdot n_k \mbox{ für ein }k\in \N\} \subset \Q$

mit der durch [0,1] gegebenen Skala.

Darstellungen

UHF-Algebren sind antiliminal. Jede irreduzible Darstellung ist treu und ihr Bild enthält außer 0 keinen weiteren kompakten Operator. UHF-Algebren besitzen überabzähbar viele paarweise nicht-äquivalente irreduzible Darstellungen.^[5]

Konstruktion von Faktoren

Jede UHF-Algebra A besitzt einen eindeutigen Spurzustand, das heißt ein stetiges lineares Funktional τ mit $\tau(x^*x) \ge 0$, τ(1) = 1 und τ(xy) = τ(yx) für alle Elemente $x,y\in A$. Die zugehörige GNS-Konstruktion liefert eine Darstellung $\pi_\tau:A\rightarrow L(H)$ auf einem Hilbertraum H. Man kann zeigen, dass der Bikommutant des Bildes $\pi_\tau(A)^{''}\subset L(H)$ ein Typ II₁-Faktor ist. ^[6].

Man nennt Faktoren hyperfinit, wenn sie als von-Neumann-Algebren durch eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler Unter-von-Neumann-Algebren erzeugt werden.^[7]. Daraus leitet sich der Name der UHF-Algebren ab, denn diese liegen in solchen hyperfiniten Faktoren, UHF steht für uniformly-hyperfinite.

Eine besondere Rolle spielt die CAR-Algebra, die gleich der UHF-Algebra mit der übernatürlichen Zahl $2^\infty$ ist. In ^[8] werden Darstellungen dieser Algebra konstruiert, deren Bilder Typ III-Faktoren als Bikommutanten haben.

Einzelnachweise

1. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Kapitel 6.4.2
2. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.4.6
3. ↑ J. Glimm: On a certain class of operator algebras, Transactions of the Amer. Math. Soc., Band 95 (1960), Seiten 318-340
4. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Beweis zu Korollar IV.5.8
5. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.7
6. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Korollar 6.4.4
7. ↑ Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, III.7.4, Theorem 3
8. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 6.5.15