Hamiltonsche Gruppe

In der Gruppentheorie nennt man eine Gruppe Dedekindsche Gruppe (nach R. Dedekind), wenn jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Offenbar ist jede abelsche Gruppe eine Dedekindsche Gruppe. Die nicht-abelschen unter ihnen werden Hamiltonsche Gruppen genannt (nach W. R. Hamilton).

Die Hamiltonschen Gruppen können nach einem auf R. Dedekind zurückgehenden Satz vollständig angegeben werden:^[1]

• Jede endliche Hamiltonsche Gruppe G ist von der Form $G\cong Q\times A \times (\Z/2)^n$, wobei
  • Q die Quaternionengruppe ist,
  • A eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung ist
  • und $n\in \N_0$ ist.

Ist n = 0, so fehlt der dritte Faktor. Die Gruppe A kann einelementig sein, dann fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist daher die kleinste Hamiltonsche Gruppe und jede Hamiltonsche Gruppe enthält eine zur Quaternionengruppe isomorphe Untergruppe.

Demnach sind $Q \times Q$ und $Q\times \Z/4$ keine Hamiltonschen Gruppen. In der Tat sind $\{(q,q); q\in Q\}$ bzw. $\{(1,\overline{0}), (i,\overline{1}), (-1,\overline{2}), (-i,\overline{3})\}\,$ nicht-normale Untergruppen, wobei wie üblich $Q\,=\,\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ und $\Z/4 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$ sei.

Einzelnachweise

1. ↑ B. Huppert: Endliche Gruppen I, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (1967), Band 134, ISBN 3-540-03825-6, Satz III,7.12

Quellen

• R. Dedekind: Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen (1897), Band 48,4, Seiten 548-561, online verfügbar