Liste kleiner Gruppen

Liste kleiner Gruppen

Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.

Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.

Inhaltsverzeichnis

Glossar

Die Notation G\times H wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen \Z_n, mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nicht-abelsche modulare Gruppe und \Z_8 \times \Z_2 haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.

Liste nicht abelscher Gruppen bis Ordnung 16

Es ist zu beachten, dass 3 \cdot  \Z_2 bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ \Z_2 gibt (nicht die Nebenklasse von \Z_2).

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
6 S_3 \cong D_3 [2] \Z_3 , 3 \cdot \Z_2 kleinste nicht abelsche Gruppe
GroupDiagramMiniD6.png
8 D4 \Z_4, 2 \cdot D_2 , 5 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD8.png
Q_8 \cong Dic_2 3 \cdot \Z_4 , \Z_2 nicht abelsch; kleinste Hamiltonsche Gruppe
GroupDiagramMiniQ8.png
10 D5 \Z_5 , 5 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD10.png
12 D_6 \cong D_3 \times \Z_2 \Z_6 , 2 \cdot D_3 , 3 \cdot D_2 , \Z_3 , 7 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD12.png
A4[3] \Z_2^2, 4 \cdot \Z_3, 3 \cdot \Z_2 nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
GroupDiagramMiniA4.png
Dic_3 \cong zu dem semidirekten Produkt von \Z_3 und  \Z_4 \Z_2, \Z_3, 3 \cdot \Z_4,  \Z_6 nicht abelsch
GroupDiagramMiniX12.png
14 D7 \Z_7 , 7 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD14.png
16 D8 \Z_8 , 2 \cdot D_4 , 4 \cdot D_2 ,  \Z_4 , 9 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD16.png
D_4 \times \Z_2 2 \cdot D_4 ,  \Z_4 \times \Z_2 , 2 \cdot \Z_2^3, 7 \cdot \Z_2^2 , 2 \cdot \Z_4 , 11 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2D8.png
Q_{16} \cong Dic_4   nicht abelsch
GroupDiagramMiniQ16.png
Q_8 \times \Z_2   nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
GroupC2xQ8CycleGraph.png
Quasi-Diedergruppe   nicht abelsch
GroupDiagramMiniQH16.png
nicht-abelsche modulare Gruppe   nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2C8.png
Das semidirekte Produkt von \Z_4 und \Z_4   nicht abelsch
GroupDiagramMinix3.png
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe.   nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2x2C4.png
G4,4   nicht abelsch
GroupDiagramMiniG44.png

Liste aller Gruppen bis Ordnung 16

Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph
1 \Z_1\cong S_1\cong A_2 - abelsch, triviale Gruppe genannt
GroupDiagramMiniC1.png
2 \Z_2\cong S_2\cong D_1 - abelsch, kleinste nicht triviale Gruppe
GroupDiagramMiniC2.png
3 \Z_3\cong A_3 - abelsch, einfach
GroupDiagramMiniC3.png
4 \Z_4 \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC4.png
V_4\cong\Z_2^2\cong D_2 3\cdot\Z_2 abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe
GroupDiagramMiniD4.png
5 \Z_5 - abelsch, einfach
GroupDiagramMiniC5.png
6 \Z_6\cong\Z_2\times\Z_3 \Z_3, \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC6.png
S_3\cong D_3 [2] \Z_3, 3 \cdot \Z_2 kleinste nicht abelsche Gruppe
GroupDiagramMiniD6.png
7 \Z_7 - abelsch, einfach
GroupDiagramMiniC7.png
8 \Z_8 \Z_4, \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC8.png
\Z_2\times\Z_4 2\cdot\Z_4, 3\cdot\Z_2, D2 abelsch
GroupDiagramMiniC2C4.png
\Z_2^3\cong D_2\times\Z_2 7 \cdot \Z_2, 7\cdot D_2 abelsch
GroupDiagramMiniC2x3.png
D4 \Z_4, 2\cdot D_2, 5\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD8.png
Q_8\cong Dic_2 3\cdot\Z_4, \Z_2 nicht abelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe
GroupDiagramMiniQ8.png
9 \Z_9 \Z_3 abelsch
GroupDiagramMiniC9.png
\Z_3^2 4\cdot\Z_3 abelsch
GroupDiagramMiniC3x2.png
10 \Z_{10}\cong\Z_2\times\Z_5 \Z_5,  \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC10.png
D5 \Z_5, 5\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD10.png
11 \Z_{11} - abelsch, einfach
GroupDiagramMiniC11.png
12 \Z_{12}\cong\Z_4\times\Z_3 \Z_6, \Z_4, \Z_3, \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC12.png
\Z_2\times\Z_6\cong\Z_2^2\times\Z_3\cong D_2\times\Z_3 3 \cdot \Z_6, \Z_3, D2, 3 \cdot \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC2C6.png
D_6\cong D_3\times\Z_2 \Z_6, 2 \cdot D_3, 3 \cdot  D_2, \Z_3, 7 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD12.png
A4 [3] D2, 4\cdot\Z_3, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6
GroupDiagramMiniA4.png
Dic_3 \cong zu dem semidirekten Produkt von \Z_3 und \Z_4 \Z_6, 3\cdot\Z_4, \Z_3, \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniX12.png
13 \Z_{13} - abelsch, einfach
GroupDiagramMiniC13.png
14 \Z_{14}\cong\Z_2\times\Z_7 \Z_7,  \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC14.png
D7 \Z_7,  7\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD14.png
15 \Z_{15}\cong\Z_3\times\Z_5 \Z_5,  \Z_3 abelsch
GroupDiagramMiniC15.png
16 \Z_{16} \Z_8, \Z_4, \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC16.png
\Z_2^4 15 \cdot \Z_2, 35 \cdot D_2, 15 \cdot \Z_2^3 abelsch
GroupDiagramMiniC2x4.png
\Z_4\times\Z_2^2 7 \cdot \Z_2, 4 \cdot \Z_4, 7 \cdot D_2, \Z_2^3, 6 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC2x2C4.png
\Z_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2, 2 \cdot \Z_4, D2, 2 \cdot \Z_8, \Z_4 \times \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC2C8.png
\Z_4^2 3 \cdot \Z_2, 6 \cdot \Z_4, D2, 3 \cdot \Z_4 \times \Z_2 abelsch
GroupDiagramMiniC4x2.png
D8 \Z_8, 2 \cdot D_4, 4 \cdot D_2, \Z_4, 9 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniD16.png
D_4\times\Z_2 2 \cdot D_4, \Z_4 \times \Z_2, 2 \cdot  \Z_2^3, 7 \cdot \Z_2^2, 2 \cdot \Z_4, 11 \cdot \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2D8.png
Q_{16}\cong Dic_4 \Z_8, 2 \cdot Q_8, 5 \cdot \Z_4, \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniQ16.png
Q_8\times\Z_2 3 \cdot \Z_2 \times \Z_4, 4 \cdot Q_8, 6 \cdot \Z_4, \Z_2 \times \Z_2, 3 \cdot \Z_2 nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe
GroupC2xQ8CycleGraph.png
Quasi-Diedergruppe 2\cdot\Z_8, \Z_2\times\Z_4, 2\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniQH16.png
nicht-abelsche modulare Gruppe 3\cdot\Z_2, 2\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 2\cdot\Z_8, \Z_4 \times \Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2C8.png
Das semidirekte Produkt von \Z_4 und \Z_4 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 6\cdot\Z_4, \Z_2\times\Z_2, 3\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMinix3.png
Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. 3\cdot\Z_2\times\Z_4, 3\cdot D_4, Q8, 4\Z_4, 3\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniC2x2C4.png
G4,4 2\cdot\Z_2\times\Z_4, \Z_2\times\Z_2\times\Z_2, 4\cdot\Z_4, 7\cdot\Z_2\times\Z_2, 7\cdot\Z_2 nicht abelsch
GroupDiagramMiniG44.png

„Small groups library“

Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:

  • alle der Ordnung bis 2000, außer die der Ordnung 1024 (insgesamt 423.164.062 Gruppen);
  • alle der Ordnung 55 und 74 (92 Gruppen);
  • alle der Ordnung qn×p mit qn teilt 28, 36, 55 oder 74 und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
  • alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.

Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien erstellt.[4]

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. a b In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
  2. a b Symmetrische Gruppe 3-ten Grades
  3. a b Alternierende Gruppe 4-ten Grades
  4. http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/

Weblinks

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