- Liste kleiner Gruppen
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Die folgende Liste enthält eine Auswahl endlicher Gruppen kleiner Ordnung.
Diese Liste kann benutzt werden, um herauszufinden, zu welchen bekannten endlichen Gruppen eine Gruppe G isomorph ist. Als erstes bestimmt man die Ordnung von G und vergleicht sie mit den unten aufgelisteten Gruppen gleicher Ordnung. Ist bekannt, ob G abelsch (kommutativ) ist, so kann man einige Gruppen ausschließen. Anschließend vergleicht man die Ordnung einzelner Elemente von G mit den Elementen der aufgelisteten Gruppen, wodurch man G bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen kann.
Inhaltsverzeichnis
Glossar
- ist die zyklische Gruppe der Ordnung n (die auch als geschrieben wird).
- Dn ist die Diedergruppe der Ordnung 2n
- Sn ist die symmetrische Gruppe vom Grad n, mit n! Permutationen von n Elementen.
- An: ist die alternierende Gruppe vom Grad n, mit n!/2 Permutationen von n Elementen.
- Dicn: ist die dizyklische Gruppe der Ordnung 4n.
- V4 ist die Kleinsche Vierergruppe der Ordnung 4.
- Q4n ist die Quaternionengruppe der Ordnung 4n für .
Die Notation wird benutzt, um das direkte Produkt der Gruppen G und H zu bezeichnen. Es wird angemerkt, ob eine Gruppe abelsch oder einfach ist. (Für Gruppen der Ordnung n < 60 sind die einfachen Gruppen genau die zyklischen Gruppen , mit n aus der Menge der Primzahlen.) In den Zykel-Graphen der Gruppen wird das neutrale Element durch einen ausgefüllten schwarzen Kreis dargestellt. Ordnung 16 ist die kleinste Ordnung, für welche die Gruppenstruktur durch den Zykel-Graphen nicht eindeutig bestimmt ist: Die nicht-abelsche modulare Gruppe und haben den gleichen Zykel-Graphen und den gleichen (modularen) Untergruppenverband, sind aber nicht isomorph.
Liste nicht abelscher Gruppen bis Ordnung 16
Es ist zu beachten, dass bedeutet, dass es 3 Untergruppen vom Typ gibt (nicht die Nebenklasse von ).
Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph 6 [2] , kleinste nicht abelsche Gruppe 8 D4 , , nicht abelsch , nicht abelsch; kleinste Hamiltonsche Gruppe 10 D5 , nicht abelsch 12 , , , , nicht abelsch A4[3] , , nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satz von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6 zu dem semidirekten Produkt von und , , , nicht abelsch 14 D7 , nicht abelsch 16 D8 , , , , nicht abelsch , , , , , nicht abelsch nicht abelsch nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe Quasi-Diedergruppe nicht abelsch nicht-abelsche modulare Gruppe nicht abelsch Das semidirekte Produkt von und nicht abelsch Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. nicht abelsch G4,4 nicht abelsch Liste aller Gruppen bis Ordnung 16
Ordnung Gruppe Echte Untergruppen[1] Eigenschaften Zykel-Graph 1 - abelsch, triviale Gruppe genannt 2 - abelsch, kleinste nicht triviale Gruppe 3 - abelsch, einfach 4 abelsch abelsch, die kleinste nicht zyklische Gruppe 5 - abelsch, einfach 6 , abelsch [2] , kleinste nicht abelsche Gruppe 7 - abelsch, einfach 8 , abelsch , , D2 abelsch , abelsch D4 , , nicht abelsch , nicht abelsch; die kleinste Hamiltonsche Gruppe 9 abelsch abelsch 10 , abelsch D5 , nicht abelsch 11 - abelsch, einfach 12 , , , abelsch , , D2, abelsch , , , , nicht abelsch A4 [3] D2, , nicht abelsch; kleinste Gruppe, die zeigt, dass die Umkehrung des Satzes von Lagrange nicht stimmt: keine Untergruppe der Ordnung 6 zu dem semidirekten Produkt von und , , , nicht abelsch 13 - abelsch, einfach 14 , abelsch D7 , nicht abelsch 15 , abelsch 16 , , abelsch , , abelsch , , , , abelsch , , D2, , abelsch , , D2, abelsch D8 , , , , nicht abelsch , , , , , nicht abelsch , , , nicht abelsch , , , , nicht abelsch, Hamiltonsche Gruppe Quasi-Diedergruppe , , , , nicht abelsch nicht-abelsche modulare Gruppe , , , , nicht abelsch Das semidirekte Produkt von und , , , nicht abelsch Die durch Pauli-Matrizen erzeugte Gruppe. , , Q8, , , nicht abelsch G4,4 , , , , nicht abelsch „Small groups library“
Das Computeralgebrasystem GAP enthält die Programm-Bibliothek Small Groups library, welche eine Beschreibung von Gruppen kleiner Ordnung enthält. Diese sind alle bis auf Isomorphie aufgelistet. Momentan enthält die Bibliothek Gruppen folgender Ordnung:
- alle der Ordnung bis 2000, außer die der Ordnung 1024 (insgesamt 423.164.062 Gruppen);
- alle der Ordnung 55 und 74 (92 Gruppen);
- alle der Ordnung qn×p mit qn teilt 28, 36, 55 oder 74 und p ist eine beliebige von q verschiedene Primzahl;
- alle Gruppen, deren Ordnung n in höchstens drei Primzahlen zerlegbar ist.
Diese Bibliothek wurde von Hans Ulrich Besche, Bettina Eick und Eamonn O'Brien erstellt.[4]
Siehe auch
- Gruppentheorie
- endliche Gruppe
- Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation
- en:Cycle graph (algebra) englischer Artikel, der die Gruppen-Graphen erläutert
Einzelnachweise
- ↑ a b In der Liste der Untergruppen werden die trivialen Untergruppen (die einelementige Gruppe und die Gruppe selbst) nicht aufgelistet.
- ↑ a b Symmetrische Gruppe 3-ten Grades
- ↑ a b Alternierende Gruppe 4-ten Grades
- ↑ http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/
Weblinks
- Thomas Keilen: „Endliche Gruppen“ (PS, dt.), siehe §15 Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 23
- John Pedersen: Groups of small order (engl.)
- Marcel Wild: Groups of Order Sixteen Made Easy (PDF, engl.; 151 kB)
- Artikel über endliche Gruppen (engl.)
- ausführliche Klassifikation der Gruppen bis Ordnung 28 (engl.)
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