Doob-Dynkin-Lemma

Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien X und Y zwei Abbildungen $\Omega \rightarrow \R^n$. In Anwendungen ist Ω in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und X und Y sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man Y bereits aus X berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion $h:\R^n \rightarrow \R^n$ gibt, so dass $Y=h\circ X$.

Ist nun $\mathcal A$ eine σ-Algebra auf Ω und ist X $\mathcal A$-messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion $h:\R^n \rightarrow \R^n$ mit $Y=h\circ X$, dass auch Y $\mathcal A$-messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man $\mathcal A$ so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

$\mathcal A = \sigma(X) := \{X^{-1}(B);\, B\subset \R^n\, {\rm Borelmenge} \}$,

die sogenannte von X erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen $X,Y: \Omega \rightarrow \R^n$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es gibt eine Borel-messbare Funktion $h:\R^n \rightarrow \R^n$ mit $Y=h\circ X$.
2. Y ist σ(X)-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist Y bezüglich der von X erzeugten σ-Algebra messbar, so kann Y keine Information enthalten, die nicht bereits in X steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen

• A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
• M. M. Rao, R. J. Swift : Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7