Doob-Zerlegung

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal.

Aussage

Seien $(\Omega,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\mathcal{F}=(\mathcal{F}_n)_{n\in\N}$ eine Filtrierung. Jeder $\mathcal{F}$-adaptierte, integrierbare stochastische Prozess $(X_n)_{n\in\N}$ ist dann darstellbar als X = M + A, wobei M ein Martingal und A vorhersagbar ist, d.h. es gilt: A_{n + 1} ist $\mathcal{F}_n$-messbar für alle $n\in\N$. Mit der Festsetzung A₀ = 0 ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist A genau dann monoton wachsend, wenn X ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für $n\in\N$

• $M_n:=X_0+\sum_{k=1}^{n}\bigl(X_k-\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\bigr)$ und
• $A_n:=\sum_{k=1}^{n}\bigl(\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1}\bigr),$

dann gilt X_n = M_n + A_n. Die Martingaleigenschaft von M und Vorhersagbarkeit von A folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung X = M' + A' der Prozess M − M' = A' − A sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls X ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von A_n größer oder gleich 0, also ist A ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

• Doob, Joseph: Stochastic Processes, Wiley 1953, ISBN: 978-0471218135
• Klenke, Achim: Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN: 978-3-540-76317-8