Dunford-Pettis-Eigenschaft

Die Dunford-Pettis-Eigenschaft (nach N. Dunford und B. J. Pettis) ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Eigenschaft von Banach-Räumen.

Definition

Die folgende Definition geht auf A. Grothendieck (1953) zurück:

Ein Banach-Raum X hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn für jeden Banach-Raum Y jeder schwach-kompakte lineare Operator $X\rightarrow Y$ bereits kompakt ist.

Beispiele

• Die Folgenräume c₀, $\ell^1$ und $\ell^\infty$ haben die Dunford-Pettis-Eigenschaft, die Folgenräume $\ell^p, 1<p<\infty$ hingegen nicht.
• Ist (Ω,Σ,μ) ein endlicher Maßraum, so hat L¹(Ω,Σ,μ) die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Dass dies der Fall ist, wurde zuvor von N. Dunford und B. J. Pettis bewiesen und war für Grothendieck die Motivation zur Namensgebung.
• Ist K ein kompakter Hausdorff-Raum, so hat der Banach-Raum C(K) der stetigen Funktionen $K\to \C$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wie von Grothendieck bewiesen wurde.
• Kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banach-Raum hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Eine Charakterisierung

Für einen Banachraum X sind folgende Aussagen äquivalent:

• X hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft.
• Ist (x_n)_n eine Folge in X mit schwachem Grenzwert x und (f_n)_n eine Folge im Dualraum X' mit schwachem Grenzwert f, so gilt $f_n(x_n)\to f(x)$ für $n\to\infty$.
• Ist (x_n)_n eine Folge in X mit schwachem Grenzwert 0 und (f_n)_n eine Folge im Dualraum X' mit schwachem Grenzwert 0, so gilt $f_n(x_n) \to 0$ für $n\to\infty$.

Eigenschaften

Hat der Dualraum X' des Banach-Raums X die Dunford-Pettis-Eigenschaft, so auch X.

Da $\ell^\infty$ als kommutative C*-Algebra von der Form C(K) ist mit einem kompakten Hausdorff-Raum K (siehe Satz von Gelfand-Neumark), hat $\ell^\infty$ nach dem unter den Beispielen erwähnten Satz von Grothendieck die Dunford-Pettis-Eigenschaft. Da $(c_0)' \cong \ell^1$ und $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ (siehe Artikel Folgenraum), ergibt sich, dass auch c₀ und $\ell^1$ die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

Quellen

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.
• Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1984, ISBN 0-387-90859-5.