Lp-Raum

In der Mathematik sind L^p-Räume spezielle Banachräume, die aus Räumen sogenannter „p-fach integrierbarer“ Funktionen gebildet werden. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Manchmal werden sie daher auch als Lebesgue-Räume bezeichnet. Im Fall Banachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden für allgemeines E dargestellt) bezeichnet man sie auch als Bochner-Lebesgue-Räume. Das p in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl $0 < p \le \infty$ ist ein L^p-Raum definiert.

Definition

Funktionenraum mit Halbnorm

Sei $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, E ein Banachraum mit der Norm $\|\cdot\|$ und $0 < p < \infty$. Dann ist die folgende Menge ein Vektorraum:

$\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E, \|\cdot\|) := \left\{ f: \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\}$,

wobei „messbar“ sich auf die borelsche σ-Algebra der Normtopologie von E bezieht. Die Abbildung

$\|f\|_p := \left(\int_\Omega \|f(x)\|^p\,{\rm d}\mu(x)\right)^{1/p}$

ist eine Halbnorm auf $\mathcal{L}^p$, wenn $1\le p$. Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen. Nach dem rieszschen Vollständigkeitssatz ist der Raum, versehen mit dieser Halbnorm, vollständig.

$\|\cdot\|_p$ ist genau dann eine Norm, wenn die einzige Nullmenge die leere Menge ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge $N\neq\emptyset$, so ist die charakteristische Funktion 1_N ungleich der Nullfunktion, aber es gilt $\|1_N\|_p=0$.

Faktorraum mit Norm

Um im Fall der Halbnorm einen normierten Raum zu erhalten, definieren wir den Unterraum

$\mathcal{N}^p:=\{f\in\mathcal{L}^p | \mu(\{f\neq 0\})=0\} = \{f\in\mathcal{L}^p | f=0 ~ \mu\mathrm{-fast\ \ddot{u}berall}\}$.

Der Raum L^p ist dann definiert als der Faktorraum $\mathcal{L}^p/\mathcal{N}^p$. Zwei Elemente von $[f], [g]\in L^p$ sind genau dann gleich, wenn f und g fast überall gleich sind.

Der Vektorraum L^p ist durch $\|[f]\|_p:=\|f\|_p$ normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus [f] ab, das heißt, für Funktionen $f_1,f_2\in[f]$ in der gleichen Äquivalenzklasse gilt $\|f_1\|_p=\|f_2\|_p$. Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist. Der normierte Vektorraum L^p ist vollständig und damit ein Banachraum.

Auch wenn man von sogenannten L^p-Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem $\mathbb{R}^n$ zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der L^p-Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall $p = \infty$

Auch für $p=\infty$ kann man mithilfe des wesentlichen Supremum (in Zeichen: $\operatorname{ess\,sup}$) einen L^p-Raum definieren, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

$\mathcal{L}^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu; E, \|\cdot\|) := \left\{ f \colon \Omega \to E: f\, {\rm ist\,messbar }\,, \|f\|_\infty < \infty \right\}$;

dabei ist

$\|f\|_\infty := \operatorname{ess}\,\sup_{x\in\Omega}\|f(x)\| \left( = \inf_{N\in \mathcal A\atop \mu(N) = 0}\sup_{x\in \Omega\setminus N} \|f(x)\|\right).$

Betrachten wir analog zu oben $L^\infty:=\mathcal{L}^\infty/\mathcal{N}^{\infty}$, erhalten wir wieder einen Banachraum.

Beispiele

• Ein sehr wichtiges Beispiel von L^p-Räumen ist durch einen Maßraum $\Omega\subset\R^n$ gegeben, $\mathcal{A}$ ist dann die borelsche σ-Algebra $\mathcal{B}(\Omega)$, und μ das Lebesgue-Maß λ. Darüber hinaus wird E oft als die Menge $\R$ der reellen Zahlen gewählt. In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation $L^p(\Omega):=L^p(\Omega,\mathcal{B}(\Omega),\lambda;\R)$ benutzt.

• In der Stochastik betrachtet man L^p-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß P ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion $X:\Omega\rightarrow E$. Weiter ist der Erwartungswert für quasiintegrierbare X als
  $E(X):=\int_\Omega X {\rm d}P\in E$
  definiert. Zufallsvariablen, die L¹-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind L^p-Räume gerade in der Stochastik wichtig.

• In einem weiteren wichtigen Fall sind Ω die natürlichen Zahlen und μ das normale Zählmaß. Hier ist der L^p-Raum der Raum aller Zahlenfolgen $\left(a_n\right)_{n\in\N}$, für die die Reihe $\textstyle \sum_{n=1}^\infty |a_n|^p$ konvergiert. Diese Räume werden auch oft mit $\ell^p$ bezeichnet. Die Grenzfälle $\ell^0$ und $\ell^\infty$ sind dann der Raum aller Zahlenfolgen und der Raum der beschränkten Zahlenfolgen. Für alle $0< p\leq q\leq\infty$ gilt $\ell^p\subseteq\ell^q$.

Wichtige Eigenschaften

Vollständigkeit

Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind die L^p-Räume vollständig für alle $1\le p \le \infty$, also Banachräume.

Einbettungen

Ist μ ein endliches Maß, gilt also $\mu(\Omega)<\infty$, so gilt $L^q\subseteq L^p\;$ für $q\geq p\geq 1\;$ (folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte)

Für allgemeine Maße gilt für $1<p\leq q\leq r\leq\infty$ stets $\mathcal{L}^q\supseteq\mathcal{L}^p\cap\mathcal{L}^r$. Dies wird auch als "konvexe" oder "Hölder-Interpolation" bezeichnet.

Dichtheit und Separabilität

Sei Ω ein separabler Maßraum. Dann ist L^p(Ω) separabel für $1 \le p < \infty$.^[1] Der Raum $L^\infty(\Omega)$ ist hingegen nicht separabel.

Sei $\Omega \subset \R^n$ offen. Für $1 \leq p < \infty$ liegt der Testfunktionenraum $C_c^\infty(\Omega)$ dicht in L^p(Ω).^[2]

Dualräume und Reflexivität

→ Hauptartikel: Dualität von Lp-Räumen

Für $1 < p < \infty$ sind die Dualräume der L^p-Räume über reflexiven Banachräumen E wieder L^p-Räume, siehe Dualität von L^p-Räumen. Konkret gilt

$L^p(\Omega,\mathcal A,\mu; E)^* \cong L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*),$

worin q durch $\textstyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1$ definiert ist, außerdem ist der kanonische, isometrische Isomorphismus

$L^q(\Omega, \mathcal A, \mu; E^*)\to L^p(\Omega,\mathcal A, \mu; E)^*$

gegeben durch

$f \mapsto \left(g \mapsto \int_\Omega\! \langle g(\omega),f(\omega)\rangle_{E \times E^*}\, {\rm d} \mu(\omega)\right).$

Dabei steht $\langle\cdot,\cdot\rangle_{E \times E^*}$ für die kanonische Bilinearform auf $E\times E^*$, nämlich $\langle x,\xi\rangle_{E \times E^*} = \xi(x)$

Daraus folgt, dass für $1< p < \infty$ und reflexives E die L^p-Räume reflexiv sind.

Für p = 1 und $E = \mathbb K$ ist $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ zu $L^\infty(\Omega, \mathcal A, \mu)$ isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ σ-endlich ist. Ist $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ nicht σ-endlich, so lässt sich $L^1(\Omega, \mathcal A, \mu)^*$ (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.

Die Räume L¹ und $L^\infty$ sind nicht reflexiv.

Der Hilbertraum L²

Definition

Der Raum L² hat eine besondere Rolle unter den L^p-Räumen. Dieser lässt sich nämlich als einziger mit einem kanonischen Skalarprodukt versehen und wird somit zu einem Hilbertraum. Sei dazu wie oben $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum, $(H, \langle\cdot,\cdot\rangle_H)$ ein Hilbertraum (häufig $\mathbb C$ mit dem Skalarprodukt $\langle w,z\rangle = \overline wz$) und

$f,g\in L^2(\Omega, \mathcal{A}, \mu;H)$.

Dann definiert

$\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)}:=\int_\Omega \langle f(x),g(x)\rangle_H\, {\rm d}\mu(x)$

ein Skalarprodukt auf L². Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist die oben definierte L²-Norm

$\|f\|^2_{L^2(\Omega,\mathcal A, \mu; H)} = \int_\Omega \| f(x)\|_H^2 {\rm d}\mu(x) = \int_\Omega \langle f(x),f(x)\rangle_H\, {\rm d}\mu(x).$

Da diese Funktionen der Norm nach zum Quadrat integrierbar sind, werden die L²-Funktionen auch quadratintegrierbare Funktionen genannt.

Beispiel

Die Funktion $f : [1,\infty[ \to \R$, welche durch $\textstyle x \mapsto \frac{1}{x}$ definiert ist, ist eine L² aber keine L¹-Funktion. Dies sieht man mit Hilfe des Integralkriteriums. In diesem Fall folgt aus dem Kriterium

$\int_1^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^p \mathrm{d} x < \infty \ \Leftrightarrow \ \sum_{x=1}^\infty \left| \frac{1}{x} \right|^p < \infty.$

Für p = 1 erhält man auf der rechten Seite die harmonische Reihe, welche nicht konvergiert, und im Fall p = 2 steht auf der rechten Seite eine konvergente Reihe und deshalb konvergiert auch $\textstyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2} \mathrm{d} x$. Andere Beispiele für L²-Funktionen sind die Schwartz-Funktionen.

Erweiterter Hilbertraum

Wie weiter oben schon erwähnt, sind die L^p-Räume vollständig. Also ist der Raum L² mit dem Skalarprodukt wirklich ein Hilbertraum. Der Raum der Schwartz-Funktionen $\mathcal{S}(\R^n)$ und der Raum der Funktionen mit kompaktem Träger $\mathcal{D}(\R^n)$ liegen dicht in $L^2(\R^n).$ Daher erhält man die Inklusionen

$\mathcal{S}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{S}'(\R^n)$

und

$\mathcal{D}(\R^n) \subset L^2(\R^n) \hookrightarrow \mathcal{D}'(\R^n).$

Dabei wird mit ' der entsprechende topologische Dualraum bezeichnet, insbesondere heißt $\mathcal{D}'(\R^n)$ Raum der Distributionen und $\mathcal{S}'(\R^n)$ Raum der temperierten Distributionen. Die Paare

$(\mathcal{S}(\R^n), L^2(\R^n))$ und $(\mathcal{D}(\R^n), L^2(\R^n))$

sind Beispiele für erweiterte Hilberträume.

Den L^p-Räumen verwandte Räume

Oftmals betrachtet man auch L^p-Funktionen für p < 1. Außerdem werden in der Funktionalanalysis die Sobolev-Räume und die Hardy-Räume untersucht, welche man als Spezialfälle der L^p-Räume verstehen kann und in der Differentialgeometrie gibt es auf Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung der L^p-Räume.

L^p für p < 1

Es gibt auch die Verallgemeinerung der L^p-Räume für 0 < p < 1. Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert, sondern nur eine Quasi-Norm. In diesem Fall ist jedoch

$d_p(f,g) := \int_{\Omega} \|f(s)- g(s)\|^p \, {\rm d}s$

eine translationsinvariante Metrik auf $L^p(\Omega, \mathcal A, \mu; E)$, die diesen Raum zu einem vollständigen metrischen Vektorraum macht. Die Räume L^p([0,1]) sind ein Beispiel für einen nicht lokalkonvexen, topologischen Vektorraum.

Raum der lokal integrierbaren Funktionen

→ Hauptartikel: Lokal integrierbare Funktion

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine Funktion, die nicht auf ihrem kompletten Definitionsbereich integrierbar sein muss, jedoch muss sie für jedes Kompaktum das im Definitionsbereich liegt integrierbar sein. Sei also $\Omega \subset \R^n$ offen. Dann heißt eine Funktion f lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum $K \subset \Omega$ das Lebesgue-Integral

$\int_K |f(x)| \mathrm{d} x < \infty$

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit $\mathcal{L}^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ bezeichnet. Analog zu den $\mathcal{L}^p$-Räumen bildet man auch hier Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur um Maß null unterscheiden, und erhält dann den Raum $L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$. Mit einer entsprechenden Halbnorm, wird dieser zu einem Fréchet-Raum. Dieser Raum kann als Raum der regulären Distributionen verstanden werden und lässt sich daher stetig in den Raum der Distributionen einbetten. Analog zu $L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ lassen sich auch die Räume $L^p_{\operatorname{loc}}(\Omega)$ der lokal p-integrierbaren Funktionen definieren.

Sobolev-Räume

→ Hauptartikel: Sobolev-Raum

Berücksichtigt man in der Norm nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die schwachen Ableitungen, so erhält man Sobolew-Räume, die insbesondere in der Untersuchung von Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen.

Hardy-Räume

→ Hauptartikel: Hardy-Raum

Untersucht man statt den messbaren Funktionen nur die holomorphen beziehungsweise die harmonischen Funktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden L^p-Räume Hardy-Räume genannt.

Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten

Da L^p-Funktionen nicht mit Hilfe von Karten auf Mannigfaltigkeiten hochgezogen werden können, müssen die L^p-Funktionen auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von 1-Dichten definiert werden. Weitere Informationen sind im Artikel Dichtebündel zu finden.

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001.

Einzelnachweise

1. ↑ Haïm Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer 2010, Theorem 4.13
2. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Lemma V.1.10