Sätze von Cohen-Seidenberg

Die Sätze von Cohen-Seidenberg, benannt nach Irvin Cohen und Abraham Seidenberg, sind zwei Sätze aus dem mathematischen Gebiet der kommutativen Algebra. Sie sind auch als "Going up" und "Going down" bekannt und befassen sich mit Primideal-Ketten in Ringerweiterungen.

Situation

Wir betrachten eine Ringerweiterung $S\supset R$ zweier kommutativer Ringe mit demselben Einselement. Sind $P\subset S$ und $p\subset R$ Primideale, so sagt man P liege über p, falls $p=P\cap R$.

Ist $P\subset S$ ein Primideal, so ist $p:=R\cap P$ ein Primideal in R, das über p liegt. Ist $P_0 \subset \ldots \subset P_n$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in S, so ist $P_0\cap R \subset \ldots \subset P_n\cap R$ eine Primidealkette mit echten Inklusionen in R. Hier gehen wir der Frage nach, ob man umgekehrt Primidealketten in R zu solchen nach S "heben" kann, so dass die Primideale der Kette in S über denen der gegebenen Kette in R liegen. Dazu muss man zunächst einmal sicherstellen, dass über den Primidealen in R stets Primideale aus S liegen.

Betrachtet man etwa die Ringerweiterung $\Q \supset \Z$ und ist $\pi\in\Z$ eine Primzahl, so ist das erzeugte Hauptideal p = (π) ein Primideal und es gibt kein Primideal in $\Q$, das über p liegt. Handelt es sich bei $S\supset R$ aber um eine ganze Ringerweitung, so kann man zeigen, dass über jedem Primideal aus R stets ein Primideal aus S liegt.^[1]

Ist also $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung und $p_0\subset \ldots \subset p_n$ eine Primidealkette in R, so kann man für jedes i ein über p_i liegendes Primideal $P_i\subset S$ finden. Es stellt sich nun die Frage, ob man die P_i auch so wählen kann, dass sie eine aufsteigende Kette bilden. Genau diese Frage beantworten die Sätze von Cohen-Seidenberg.

Going up

Es sei $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung, $p_0\subset \ldots \subset p_n$ eine Primidealkette in R und das Primideal P₀ liege über p₀:

$\begin{array}{ccccccc} P_0 &\\ \downarrow &\\ p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, , \end{array}$

so gibt es über den p_i liegende Primideale P_i, i > 0, die eine aufsteigende Kette bilden^[2] :

$\begin{array}{ccccccc} P_0 & \subset & P_1 & \subset & \ldots & \subset & P_n \\ \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\ p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, . \end{array}$

Going down

Beginnt man in der Situation des Going up-Satzes statt mit einem über p₀ liegenden Primideal mit einem über p_n liegenden, so muss man für eine analoge Aussage zusätzliche Voraussetzungen stellen:

Es sei $S\supset R$ eine ganze Ringerweiterung von Integritätsringen mit normalem R, $p_0\subset \ldots \subset p_n$ sei eine Primidealkette in R und das Primideal P_n liege über p_n:

$\begin{array}{ccccccc} & & & & & & P_n\\ & & & & & & \downarrow\\ p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, , \end{array}$

so gibt es über den p_i liegende Primideale P_i, i < n, die eine aufsteigende Kette bilden^[3][4] :

$\begin{array}{ccccccc} P_0 & \subset & P_1 & \subset & \ldots & \subset & P_n \\ \downarrow & & \downarrow & & & & \downarrow\\ p_0 & \subset & p_1 & \subset & \ldots & \subset & p_n \, . \end{array}$

Bedeutung

Primidealketten spielen eine wichtige Rolle bei der Definition des Dimension eines Ringes. Aus dem Going up-Satz ergibt sich sofort $\mathrm {dim}\, R = \mathrm {dim}\, S$ für eine ganze Ringerweiterung $S\supset R$. Der Going down-Satz kann verwendet werden, um $\mathrm {dim}\, K[X_1,\ldots,X_n]=n$ zu zeigen, wobei $K[X_1,\ldots,X_n]$ der Polynomring in n Unbestimmten über dem Körper K ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.10 a
2. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Korollar II.2.12
3. ↑ Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz II.2.16
4. ↑ Jean-Pierre Serre: Local Algebra, Springer (2000), ISBN 3540666419, III Proposition 5