Cartesisches Blatt

Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Gleichungen des kartesischen Blattes

• Kartesische Koordinaten: $x^3 + y^3 - 3 a x y \, = \, 0$

• Polarkoordinaten: $r = \frac{3 a \cos\varphi \sin\varphi}{(\cos\varphi)^3 + (\sin\varphi)^3}$

• Parametergleichung: $x = \frac{3 a t}{1 + t^3}; \qquad y = \frac{3 a t^2}{1 + t^3}$

Eigenschaften des kartesischen Blattes

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

• Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel S mit den Koordinaten $\left(\frac{3}{2}a\left|\frac{3}{2}a\right.\right)$.

• Der Ursprung des Koordinatensystems ist ein Doppelpunkt der Kurve, d.h. er wird zweimal durchlaufen. x- und y-Achse stimmen mit den beiden Tangenten im Ursprung überein.

• Die Gerade mit der Gleichung x + y + a = 0 (in der Skizze gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.

• Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung $\frac{3}{2}a$.

• Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt $\frac{3}{2} a^2$ ein.

• Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt $\frac{3}{2} a^2$.