Hartley-Transformation

Die Hartley-Transformation, abgekürzt HT, ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine lineare Integraltransformation mit Bezug zur Fourier-Transformation und wie diese eine Frequenztransformation. Im Gegensatz zur komplexen Fourier-Transformation ist die Hartley-Transformation eine reelle Transformation. Sie ist nach Ralph Hartley benannt, welcher sie 1942 vorstellte^[1].

Die Hartley-Transformation existiert auch in diskreter Form, der diskreten Hartley-Transformation, abgekürzt DHT, welche in der digitalen Signalverarbeitung und der Bildverarbeitung Anwendung findet. Diese Form wurde 1994 von R.N.Bracewell veröffentlicht ^[2].

Definition

Die Hartley-Transformation einer Funktion f(t) ist definiert als:

$H(\omega) = \left\{\mathcal{H}f(t)\right\}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t) \, \mbox{cas}(\omega t) \mathrm{d}t$

mit der Kreisfrequenz ω und der Abkürzung:

$\mbox{cas}(t) = \cos(t) + \sin(t) = \sqrt{2} \sin (t+\pi /4) = \sqrt{2} \cos (t-\pi /4)$

welche als „Hartley-Kern“ bezeichnet wird.

In der Literatur existieren auch betreffend des Faktor $\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ abweichende Definitionen, welche diesen Faktor auf 1 normieren und bei der inversen Hartley-Transformation der Faktor $\tfrac{1}{2\pi}$ auftritt.

Inverse Transformation

Die Hartley-Transformation ist nach obiger Definition zu sich selbst invers, womit sie eine involutive Transformation ist:

$f = \{\mathcal{H} \{\mathcal{H}f \}\}$

Bezug zur Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation

$F(\omega) = \mathcal{F} \{ f(t) \}(\omega)$

weicht durch ihren komplexen Kern:

$\exp\left({-\mathrm{j}\omega t}\right) = \cos(\omega t) - \mathrm{j} \sin(\omega t)$

mit der imaginären Einheit j von dem rein reellen Kern cas(ωt) der Hartley-Transformation ab. Bei entsprechender Wahl der Normalisierungsfaktoren kann die Fourier-Transformation direkt aus der Hartley-Transformation berechnet werden:

$F(\omega) = \frac{H(\omega) + H(-\omega)}{2} - \mathrm{j} \frac{H(\omega) - H(-\omega)}{2}$

Der Real- bzw. Imaginärteil der Fourier-Transformation wird dabei durch die geraden und ungeraden Anteile der Hartley-Transformation gebildet.

Literatur

• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.
• Ronald Newbold Bracewell: The Hartley Transform. 1. Auflage. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-503969-6.

Einzelnachweise

1. ↑ Ralph Hartley: A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems. In: Institute of Radio Engineers (Hrsg.): Proceedings of the IRE. Vol. 30, Nr. 3, März 1942, ISSN 0096-8390, S. 144-150 (IEEE Xplore Digital Library, abgerufen am 25. August 2010).
2. ↑ R.N. Bracewell: Aspects of the Hartley transform. Proceedings of the IRE, 82 (3), 1994, doi:10.1109/5.272142.