Imaginäre Zahl

Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat eine nicht-positive reelle Zahl ist. Diese Bezeichnung wurde vermutlich von Cardano geprägt. Nach seiner Ansicht konnten solche Zahlen nicht existieren, sie konnten also nur imaginär (eingebildet) sein. Die imaginäre Zahl, die der 1 bei den reellen Zahlen entspricht, heißt auch imaginäre Einheit und wird mit i bezeichnet.

In der Elektrotechnik wird als Symbol statt i ein j benutzt, diese Bezeichnung geht auf Charles P. Steinmetz zurück.^[1] Die Bezeichnung j ist gemäß DIN 1302 und DIN 5483-3 als Symbol erlaubt, um in Anwendungen wie der komplexen Wechselstromrechnung eine Verwechslung mit dem Momentanwert i(t) der Stromstärke zu vermeiden.

Allgemeines

Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußebene

Mit imaginären Zahlen lassen sich Gleichungen lösen, deren Lösungen keine reellen Zahlen sein können. Die Gleichung

$x^2 - 1 = 0 \,$

hat zur Lösung zwei reelle Zahlen, −1 und +1.

Die Gleichung

$x^2 + 1 = 0 \,$

hingegen kann keine reelle Lösung haben, da dazu die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl gezogen werden müsste, denn die Wurzel ist die Umkehrfunktion des Quadrierens – und Quadrate reeller Zahlen sind immer positiv. Ihre Lösungen sind +i und −i, zwei imaginäre Zahlen.

Eine Beschäftigung mit Quadratwurzeln aus negativen Zahlen wurde bei der Lösung von kubischen Gleichungen im Fall des Casus irreducibilis nötig.

Heute versteht man imaginäre Zahlen als spezielle komplexe Zahlen. Jede komplexe Zahl kann dargestellt werden als Summe einer reellen Zahl und eines reellen Vielfachen der imaginären Einheit i, einer Zahl mit der Eigenschaft:

$\mathrm{i}^2 = -1 \,$

Algebraisch wird i definiert als eine Nullstelle des Polynoms x² + 1, und die komplexen Zahlen als die dadurch erzeugte Körpererweiterung. Die zweite Nullstelle ist dann automatisch -i. Man kann sie aber erst unterscheiden, wenn man eine der beiden mit i bezeichnet hat. Da man sie aber ohnehin nicht unterscheiden kann, spielt es keine Rolle „welche“ Nullstelle man nun mit i bezeichnet.

Alle komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußebene darstellen, einer Erweiterung der reellen Zahlengeraden (siehe Abbildung rechts). Die komplexe Zahl $a + \mathrm i \cdot b$ hat den Realteil a und den Imaginärteil b. Aufgrund der Rechenregeln komplexer Zahlen ist das Quadrat einer Zahl, deren Realteil gleich 0 ist, eine nicht positive reelle Zahl:

$(b\, \mathrm i)^2 = -b^2$.

Die imaginären Zahlen bilden also eine Gerade, die durch die Zahl 0 geht und senkrecht auf der reellen Zahlengeraden steht. Sie sind reelle Vielfache der imaginären Einheit i.

Eine weitergehende Beschreibung findet sich im Artikel über komplexe Zahlen.

Potenzen

Potenzen von i genügen folgenden Beziehungen, mit n ganzzahlig:

$\mathrm{i}^{4n} = 1\,$

$\mathrm{i}^{4n+1} = \mathrm{i}\,$

$\mathrm{i}^{4n+2} = -1\,$

$\mathrm{i}^{4n+3} = -\mathrm{i}.\,$

Einige oft auftretende Potenzen daraus sind:

$\mathrm{i}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}\,$

$\mathrm{i}^0 = 1\,$

$\mathrm{i}^1 = \mathrm{i}\,$

$\mathrm{i}^2 = -1\,$

Zusammenhang

Erweiterungen stellen die hyperkomplexen Zahlen dar, welche über die komplexen Zahlen hinausgehend mehrere imaginäre Einheiten pro Zahl aufweisen. Beispielsweise treten bei den vierdimensionalen Quaternionen drei imaginäre Einheiten i, j und k auf, bei den achtdimensionalen Oktonionen werden sieben imaginäre Einheiten pro Zahl verwendet.

In der eulerschen Identität wird ein verblüffend einfacher Zusammenhang der imaginären Einheit i mit drei anderen bedeutenden mathematischen Konstanten hergestellt:
Der eulerschen Zahl $\ \mathrm{e}$, der Kreiszahl $\ \mathrm{\pi}$ sowie der reellen Einheit −1:

$\;\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi} = -1\,$

Literatur

• Ilja N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Muehlig: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage. Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-81712007-9.

Einzelnachweise

1. ↑ Kurt Jäger, Friedrich Heilbronner: Lexikon der Elektrotechniker. 2. Auflage. VDE Verlag, 2010, ISBN 978-3-8007-2903-6, S. 418.