Prinzipalbündel

In der Mathematik ist ein Prinzipalbündel, bzw. Prinzipalfaserbündel oder Hauptfaserbündel ein Objekt, das einige wesentliche Eigenschaften des kartesischen Produktes X × G eines Raumes X und einer Gruppe G formalisiert. So wie das kartesische Produkt besitzt auch ein Prinzipalfaserbündel P die folgenden Eigenschaften:

1. Eine Gruppenoperation von G auf P in der gleichen Art, wie (x, g) h = (x, gh) für den Produktraum
2. Eine Projektionsabbildung auf X, die im Falle eines Produktraumes einfach die Projektion auf den ersten Faktor darstellt: (x, g) → x.

Anders als Produkträume haben Prinzipalbündel keine bevorzugte Darstellung eines Schnittes des neutralen Elementes der Gruppe G. Es gibt also kein bevorzugtes Element aus P als Identifikation von (x,e). Genauso wenig gibt es eine allgemeine Projektion auf G, welche die Projektion auf das zweite Element des Produktraumes verallgemeinert: (x, g) → g. Prinzipalbündel können deswegen komplizierte Topologien haben, die eine Darstellung des Bündels als Produktraum verhindern, selbst wenn einige zusätzliche Annahmen gemacht werden.

In der Topologie und Differentialgeometrie gibt es einige Anwendungsfälle der Prinzipalbündel. Desgleichen gibt es Anwendungen der Prinzipalbündel in der Physik. Dort bilden sie einen entscheidenden Teil des mathematischen Rahmens der Eichtheorien.

Formale Definition

Ein Prinzipalbündel ist ein Faserbündel mit einer lokal trivialisierbaren Projektion π : P → X und einer stetigen Gruppenoperation P × G → P einer topologischen Gruppe G, wobei G der Faserraum des Faserbündels ist.

Literatur

• David Bleecker: Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing 1981, ISBN 0-486-44546-1 (Dover edition).
• Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (4th ed.), New York: Springer 2005, ISBN 3-540-25907-4.
• R. W. Sharpe: Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer 1997, ISBN 0-387-94732-9.
• Norman Steenrod: The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press 1951, ISBN 0-691-00548-6.
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Braunschweig: vieweg 1995, ISBN 3-528-06565-6.