Cauchyscher Grenzwertsatz

Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Césaro–Stolz und besagt: Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesaro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert.

Mathematische Formulierung des Satzes

Gegeben sei eine Zahlenfolge $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, dann ist die Folge $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ der Cesaro-Mittel dieser Folge definiert durch $c_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$. Aus $a_n\to a$ folgt dann $c_n\to a$.

Verwandte Resultate und Erweiterungen

Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:

Sei (a_n) eine beliebiger Folge mit $a_n\rightarrow a$ und (p_n) eine Folge positiver Zahlen mit $\frac{1}{p_1+\ldots+p_n} \rightarrow 0$, dann gilt auch $\frac{p_1a_1+\ldots+p_na_n}{p_1+\ldots+p_n}\rightarrow a$.

Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:

Sei (a_n) eine Folge mit $(a_n)\rightarrow a$, so konvergiert auch die Folge der geometrischen Mittel, das heißt $\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n} \rightarrow a$

Beweis

Zu jedem ε > 0 gibt es für die Indizes $k\,$ eine Schranke N_ε überhalb der | a_k − a | < ε ist.

Sei mit $a_k-a=\eta_k\,$ die Differenz des $k\,$-ten Folgeglieds vom Grenzwert $a\,$ bezeichnet.

Das Durchsummieren der Gleichung $a_k-a=\eta_k\,$ von $k=1\,$ bis zu einem variablen $n\gg N_\varepsilon$ liefert die Gleichung

$\sum_{k=1}^n a_k-na=\sum_{k=1}^n \eta_k$

und das durchdividieren mit $n\,$ die Gleichung

$A_n-a=\frac1n \sum_{k=1}^n \eta_k$

Letzter Ausdruck lässt sich aufspalten in $\frac1n \sum_{k=1}^{N_\varepsilon-1} \eta_k+\frac1n \sum_{k=N_\varepsilon}^n \eta_k$.

Hier ist der erste Summand eine Nullfolge somit betragsmäßig $<\varepsilon\,$ für hinreichend großes $n\,$.

Und der zweite Summand ist betragsmäßig kleinergleich $\frac1n \sum_{k=N_\varepsilon}^n \varepsilon\le \frac1n \sum_{k=1}^n \varepsilon=\varepsilon$.

Also | A_n − a | < 2ε für alle genügend große $n\,$.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S.177

Weblinks

• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf PlanetMath (engl.)
• Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf SOS Math (engl.)