Cauchyscher Hauptwert

Als cauchyschen Hauptwert (nach A. L. Cauchy) bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der Analysis den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.

Definition

Ist das Integral $\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$

• uneigentlich an $c \in (a,b)$, so bezeichnet man den Grenzwert

  $\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_a^{c-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx+\int_{c+\epsilon}^bf(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$

• uneigentlich an a und/oder b, so bezeichnet man den Grenzwert

  $\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{a+\epsilon}^cf(x)\,\mathrm dx+\int_c^{b-\epsilon}f(x)\,\mathrm dx\right)=\operatorname{CH}\int_a^bf(x)\,\mathrm dx$

als den Cauchyschen Hauptwert. Es ist auch gebräuchlich, "V.P." (aus dem Franz.: "valeur principale") oder "P.V." (aus dem Engl.: "principal value") anstatt "CH" zu schreiben.

Beispiel (CH 1/x)

Cauchyscher Hauptwert - Beispiel

Es wird das bestimmte Integral $\textstyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx$ untersucht. Der Integrand ist für x = 0 (ein innerer Punkt des Integrationsbereichs ] − 1,1[) nicht definiert. Damit ist dieses Integral uneigentlich in 0. Die Stammfunktion des Integranden $\tfrac{1}{x}$ ist $\ln\left|x\right|$ (siehe Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

$\begin{align} \Rightarrow& \int_{-1}^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm dx = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\mathrm dx = \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=-1}^0 + \left[ \ln\left|x\right| \right]_{x=0}^{1} =& \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\ln\left|x\right| - \ln\left|-1\right| + \ln\left|1\right| - \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln\left|x\right| = -\infty - \left(-\infty\right) \end{align}$

Dieses Integral existiert also nicht als uneigentliches Riemann-Integral, der cauchysche Hauptwert beträgt jedoch 0:

$\operatorname{CH}\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}} \left(\int_{-1}^{0-\epsilon} \frac{1}{x}\,\mathrm dx + \int_{0+\epsilon}^1 \frac{1}{x}\,\mathrm dx\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}(\ln(\epsilon)-\ln(\epsilon))=0$

Der Cauchy-Hauptwert ermöglicht es also einem Integral einen Wert zuzuordnen, das weder im riemannschen Sinn noch im lebesgueschen Sinn existiert.

Wenn f auf der reellen Achse stetig und nur auf einem beschränkten Intervall von Null verschieden ist, existiert also insbesondere der Ausdruck $\textstyle \operatorname{CH}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \frac{1}{x}\,\mathrm dx$. Das heißt, dass $\operatorname{CH}\tfrac{1}{x}$ wie die Delta-Distribution auch als Distribution verstanden werden kann.

Substitution i. Allg. nicht erlaubt

Der Hauptwert eines Integrals bleibt jedoch im Allgemeinen nicht unter Substitution invariant. Wenn man etwa die Funktion φ durch φ(x) = x³ für $x\le 0$ und φ(x) = x² für $x\ge 0$ definiert, so gilt zwar nach der Substitutionsregel

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \frac 1t\, \mathrm dt = \int_a^b \frac{1}{\varphi(x)}\varphi'(x) \,\mathrm dx$

wann immer $0<a\le b$ oder $a\le b<0$ gilt. Für a < 0 < b ist jedoch der Hauptwert des einen Integrals eine endliche Zahl, der Hauptwert des zweiten Integrals ist aber $-\infty$:

$\operatorname{CH} \int_{a^3}^{b^2} \frac 1t \,\mathrm dt = \ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr|$

$\operatorname{CH} \int_a^b \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)}\,\mathrm dx = \lim_{\varepsilon\to 0+} \biggl(\int_a^{-\varepsilon} \frac{3x^2}{x^3} \,\mathrm dx + \int_{\varepsilon}^b \frac{2x}{x^2}\,\mathrm dx \biggr) = \lim_{\varepsilon\to 0+} \biggl(\ln\biggl|\frac{b^2}{a^3} \biggr| + \ln \varepsilon \biggr)=-\infty$