- Cauchysche Integralformel
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Die cauchysche Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion f im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.
Inhaltsverzeichnis
Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben
Aussage
Ist
ein Gebiet,
holomorph,
ein Punkt in D und
eine relativ kompakte Kreisscheibe in D, dann gilt für alle
, also für | z − a | < r:
Dabei ist
die positiv orientierte Kurve
für
über den Rand von U.
Beweis
Für festes
sei die Funktion
definiert durch
für
und
für w = z. g ist stetig auf U und holomorph auf
. Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun
.
Die Funktion
,
ist holomorph mit der Ableitung
, welche verschwindet, da der Integrand die Stammfunktion
hat. Also ist h konstant, und wegen h(a) = 2πi ist h(z) = 2πi.
Folgerungen
Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei
.
Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für | z − a | < r und
:
Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für | z − a | < r.
Mit der Integralformel für f(n) folgt sofort, dass die Koeffizienten an genau die Taylor-Koeffizienten sind. Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn
für
gilt:
Der Satz von Liouville (jede auf ganz
holomorphe beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. Damit kann man dann leicht den Fundamentalsatz der Algebra (jedes Polynom zerfällt in
in Linearfaktoren) beweisen.
Beweise
Die Cauchysche Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:
Entwicklung von
in der Cauchyschen Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt
Da für | z − a | < | ζ − a | = r die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d.h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:
Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein M > 0 mit
für | z − a | = r; dann gilt für
:
Ist f auf ganz
holomorph und beschränkt, also
für
, dann gilt wie vorher für r > 0:
Somit folgt aus der Beschränktheit von f:
D.h. jede beschränkte auf ganz
holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).
Beispiel
Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:
Cauchysche Integralformel für Polyzylinder
Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum
verallgemeinert. Seien
Kreisscheiben in
, dann ist
ein Polyzylinder in
. Sei
eine holomorphe Funktion und
Dann ist die cauchysche Integralformel durch
erklärt. Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu
,
mit
verkürzt werden. Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel
für die Ableitungen der holomorphen Funktion f als auch die cauchysche Ungleichung
wobei
und
der Radius des Polyzylinders
ist. [1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.
Cauchysche Integralformel für Zyklen
Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:
Ist
ein Gebiet,
holomorph und Γ ein nullhomologer Zyklus in D, dann gilt für alle
, die nicht auf Γ liegen, folgende Integralformel:
Dabei bezeichnet
die Windungszahl von Γ um z.
Einzelnachweis
- ↑ Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.
Literatur
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
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