Helmholtzscher Zerlegungssatz

Helmholtzscher Zerlegungssatz

Das Helmholtz-Theorem (auch Helmholtz-Zerlegung) ist nach Hermann von Helmholtz benannt. Es besagt, dass für gewisse Gebiete \Omega\subset\R^n der Lp-Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für ein Gebiet \Omega\subset\R^n wird L^p_\sigma(\Omega)=\overline{\{u\in C_c^\infty(\Omega): \nabla\cdot u=0\}}^{\|\cdot\|_p} der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei C_c^\infty(\Omega) der Raum der Testfunktionen ist und \|\cdot\|_p die p-Norm bezeichnet. Die Zerlegung

L^p(\Omega)=L^p_\sigma(\Omega) \oplus G_p

mit G_p=\{u=\nabla\phi: \phi\in L^1_\text{loc}(\Omega) \ \text{und}\  \nabla\phi \in L^p(\Omega)\} wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion P mit PL^p(\Omega)=L^p_\sigma(\Omega), die sog. Helmholtz-Projektion.

Ist Ω der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit C2-Rand oder ein Außenraum mit C2-Rand, so existiert die Zerlegung. Für p = 2 existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit C2-Rand.[1]

Hat Ω einen C1-Rand, gilt L^p_\sigma(\Omega)=\{u\in L^p(\Omega): \operatorname{div} u=0 \ \text{und}\  u\cdot \nu=0 \ \text{auf}\  \partial\Omega\}, wobei ν die äußere Normale ist.

Mathematische Anwendung

In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung

utPΔu = f

für u,f\in L^p_\sigma(\Omega). Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich u und p, gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.

Der Operator PΔ wird Stokes-Operator genannt.

Physikalische Betrachtung

Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld \mathbf{f}(\mathbf{r}) als eine Superposition eines rotationsfreien Feldes \mathbf{a}(\mathbf{r}) und eines divergenzfreien Feldes \mathbf{b}(\mathbf{r}) darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential \phi(\mathbf{r}) darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential \mathbf{A}(\mathbf{r}).

\mathbf{a}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r}))

und

 \mathbf{b}(\mathbf{r}) = \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r}))

dann folgt

\operatorname{rot}(\mathbf{a}(\mathbf{r})) = -\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})))\equiv 0

und

 \operatorname{div}(\mathbf{b}(\mathbf{r})) =  \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r})))\equiv 0

Es ist also möglich das Vektorfeld \mathbf{f}(\mathbf{r}) durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale \phi(\mathbf{r}) und \mathbf{A}(\mathbf{r}) auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

\mathbf{f}(\mathbf{r}) = \mathbf{a}(\mathbf{r}) + \mathbf{b}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})) + \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r}))

Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld \mathbf{f}(\mathbf{r}) gewinnen:

\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int_V   \frac{\operatorname{div}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}^3r'
\mathbf{A}(\mathbf{r}) =  \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\operatorname{rot}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3r'

Wobei V das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds \mathbf{f}(\mathbf{r}), dass es für r \to \infty schneller als \frac{1}{r} gegen 0 geht, also \lim_{r \to \infty} \mathbf{f}(\mathbf{r}) r = 0. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

Quellen

  1. G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X

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