- Helmholtzscher Zerlegungssatz
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Das Helmholtz-Theorem (auch Helmholtz-Zerlegung) ist nach Hermann von Helmholtz benannt. Es besagt, dass für gewisse Gebiete
der Lp-Raum als direkte Summe von divergenzfreien Funktionen und Gradientenfeldern geschrieben werden kann.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Für ein Gebiet
wird
der Raum der divergenzfreien Funktionen genannt, wobei
der Raum der Testfunktionen ist und
die p-Norm bezeichnet. Die Zerlegung
mit
wird Helmholtz-Zerlegung genannt, insofern die Zerlegung existiert. In diesem Fall gibt es eine Projektion P mit
, die sog. Helmholtz-Projektion.
Ist Ω der Halbraum, ein beschränktes Gebiet mit C2-Rand oder ein Außenraum mit C2-Rand, so existiert die Zerlegung. Für p = 2 existiert die Zerlegung für beliebige Gebiete mit C2-Rand.[1]
Hat Ω einen C1-Rand, gilt
, wobei ν die äußere Normale ist.
Mathematische Anwendung
In der Lösbarkeitstheorie der Navier-Stokes-Gleichungen spielt die Helmholtz-Projektion eine wichtige Rolle. Wird die Helmholtz-Projektion auf die linearisierte inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen angewandt, erhält man die Stokes-Gleichung
- ut − PΔu = f
für
. Gab es zuvor zwei Unbekannte, nämlich u und p, gibt es jetzt nur noch eine Unbekannte. Beide Gleichungen, die Stokes- und die linearisierte Gleichung, sind jedoch äquivalent.
Der Operator PΔ wird Stokes-Operator genannt.
Physikalische Betrachtung
Das Helmholtz-Theorem besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld
als eine Superposition eines rotationsfreien Feldes
und eines divergenzfreien Feldes
darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential
darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential
.
und
dann folgt
und
Es ist also möglich das Vektorfeld
durch Superposition (Addition) zweier unterschiedlicher Potentiale
und
auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).
Die beiden einander ergänzenden Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld
gewinnen:
Wobei V das die Felder enthaltende Volumen ist.
Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds
, dass es für
schneller als
gegen 0 geht, also
. Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.
Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.
Quellen
- ↑ G. P. Galdi, An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I, Springer Tracts in Natural Philosophy, vol. 38, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0-387-94172-X
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