Legendre-Konstante

Die ersten 100.000 Glieder der Folge a_n = ln(n)−n/π(n) (rot) deuten eine Konvergenz gegen 1,08366 (blau) an

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798 von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel zur Abschätzung der Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als eine gegebene Zahl n sind, auftritt. Ihr Wert wurde später als genau 1 nachgewiesen.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

$\lim_{n \to \infty} \biggl(\!\ln(n) - \frac{n}{\pi(n)}\biggr) = B,$

wobei ln(n) der natürliche Logarithmus von n, π(n) die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als n sind, und B die Legendre-Konstante ist, die Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst n=400.000, später n=1.000.000 auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Später untersuchte Carl Friedrich Gauß die mutmaßlich existierende Konstante weiter und vermutete, dass ihr Wert niedriger liegen könnte. Charles-Jean de La Vallée Poussin und unabhängig Jacques Hadamard bewiesen 1896 den Primzahlsatz, und de La Vallée Poussin zeigte, dass B=1 ist.

Literatur

• Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld. (englisch)