Legendresche Chi-Funktion

Die Legendresche χ-Funktion (Chi-Funktion) ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die folgendermaßen definiert ist:

$\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus Li_ν(z) ausdrücken:

$\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right].$

Spezielle Werte

$\begin{matrix} \chi_2(\mathrm i) & = & \mathrm i\cdot G \\ \chi_2(\sqrt{2}-1) & = & \frac1{16}\pi^2-\frac14\left(\ln(\sqrt{2}+1)\right)^2 \\ \chi_2(\frac12(\sqrt{5}-1)) &=& \frac1{12}\pi^2-\frac34\left(\ln(\sqrt{5}+1)\right)^2 \\ \chi_2(\sqrt{5}-2) &=& \frac1{24}\pi^2-\frac34\left(\ln(\sqrt{5}+1)\right)^2 \\ \chi_2(-1) &=& -\frac18\pi^2 \\ \chi_2(1) &=& \frac18\pi^2 \end{matrix}$

mit der imaginären Einheit i und der catalanschen Konstanten G.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die Dirichletsche Lambda-Funktion λ

$\lambda(n)=\chi_n(1)\,$

und die Dirichletsche Beta-Funktion β:

$\beta(n)=\frac1{\rm i}\chi_n(\mathrm i).$

Die Transzendente Lerchsche Funktion^[1] verallgemeinert die Legendresche Chi-Funktion:

$\chi_n(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^2,n,\tfrac12).$

Anmerkungen

1. ↑ Lerch Transcendent ist die englische Bezeichnung der Funktion $\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s}.$ Siehe auch Lerchsche Zeta-Funktion oder, genauer zur Lerch Transcendent, die englische Wikipedia oder MathWorld.

Siehe auch: Hurwitzsche Zeta-Funktion

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld. (englisch)
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623-1630.