Logarithmisches Mittel

In der Mathematik ist das logarithmische Mittel, also der logarithmische Mittelwert, ein bestimmter Mittelwert, der die Logarithmusfunktion verwendet.

Das logarithmische Mittel M_lm zweier verschiedener positivreeller Zahlen x,y ist gegeben durch

$M_\text{lm}(x,y)=\frac{y-x}{\ln\frac yx}=\frac{y-x}{\ln y-\ln x}$

Um auch den Fall x = y zu erfassen, definiert man allgemeiner

$M_\text{lm}(x,y)=\lim_{(\xi,\eta)\to(x,y)}\frac{\eta-\xi}{\ln\eta-\ln\xi}$

Dann ist M_lm(x,x) = x.

Das logarithmische Mittel ist eine streng monoton steigende Funktion. Ferner liegt das logarithmische Mittel zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel:

$\sqrt{x\cdot y} \le \frac{y - x}{\ln y - \ln x} \le \frac{x+y}{2}$^[1]

Diese Gleichung gilt für x,y > 0; Gleichheit genau dann, wenn x = y.

Der logarithmische Mittelwert findet in diversen Wissenschaften und technischen Problemen Verwendung. Er wird beispielsweise bei der verfahrenstechnischen Auslegung von Packungskolonnen genutzt. Er dient dort zur Mittelung der molaren Zusammensetzungen an Kopf und Boden der Kolonne.

Analysis

Mittelwertsatz

Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es zu einer differenzierbaren Funktion $f:[x,y]\rightarrow \R$ ein $\xi\in[x,y]$ mit

$f'(\xi)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}.$

Für $f(x)=\ln\,x$ erhält man daraus

$\frac1\xi=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}\,\,$, also $\xi=\frac{x-y}{\ln x-\ln y}$.

Das ξ ist in diesem Fall also der logarithmische Mittelwert aus x und y.

Integration

Außerdem erhält man für die Integration

$\begin{array}{rcl} \int\limits_0^1 x^{1-t} y^t\ \mathrm{d}t &=& \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t x\ \mathrm{d}t \\ &=& x \int\limits_0^1 \left(\frac{y}{x}\right)^t \mathrm{d}t \\ &=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}\right)^t|_{t=0}^{1}\\ &=& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}} \left(\frac{y}{x}-1\right)\\ &=& \frac{y-x}{\ln y - \ln x}. \end{array}$

Verallgemeinerungen

Mehrere Variablen

Die Verallgemeinerungen des logarithmischen Mittels auf mehr als zwei Variablen wird seltener verwendet und ist uneinheitlich.

Verallgemeinert man die Idee des Mittelwertsatzes etwa ist

$L_{\mathrm{MV}}(x_0,\dots,x_n) = \sqrt[-n]{(-1)^{(n+1)}\cdot n \cdot \ln[x_0,\dots,x_n]}$

wobei $\ln[x_0,\dots,x_n]$ die dividierten Differenzen des Logarithmus bezeichnen.

Für n = 2, also für drei Variablen, führt dies zu

$L_{\mathrm{MV}}(x,y,z) = \sqrt{\frac{(x-y)\cdot(y-z)\cdot(z-x)}{2\cdot((y-z)\cdot\ln x + (z-x)\cdot\ln y + (x-y)\cdot\ln z)}}$.

Verallgemeinert man das Integral zu

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = \int_S x_0^{\alpha_0}\cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}\ \mathrm{d}\alpha$

mit $S = \{(\alpha_0,\dots,\alpha_n)| \alpha_0+\dots+\alpha_n=1\ \land\ \alpha_0\ge0\ \land\ \dots\ \land\ \alpha_n\ge0\}$ erhielte man

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots,x_n) = n!\cdot\exp[\ln x_0, \dots, \ln x_n]$

und als Spezialfall für drei Variablen

$L_{\mathrm{I}}(x,y,z) = -2\cdot\frac{x\cdot(\ln y-\ln z) + y\cdot(\ln z-\ln x) + z\cdot(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot(\ln y-\ln z)\cdot(\ln z-\ln x)}$.

Eine andere Idee ist

$\exp\left(\frac{\ln(x_1)+\ln(x_2)+\cdots+\ln(x_n)}{n}\right)$^[2]

Andere Mittelwerte

Das Stolarsky-Mittel etwa verallgemeinert das logarithmische Mittel.

Quellen

• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. Archiv der Mathematik, Vol 47, Nr. 5 / Nov. 1986. springerlink-PDF
• A. O. Pittenger: The logarithmic mean in n variables. In: American Mathematical Monthly, 92 (1985), S. 99–104
• Gao Jia, Jinde Cao: A New Upper Bound of the Logarithmic Mean. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 4, 4, 2003, 80.

Einzelnachweise

1. ↑ Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality und Napier's Inequality in MathWorld
2. ↑ http://www.everything2.com/index.pl?node_id=801020